# Matematyka — zadanie 38

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/38
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Funkcja kwadratowa

## Treść

Największa wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=a(x-2)^2-4\), gdzie \(a\ne 0\), w przedziale domkniętym \(\langle -4,-2\rangle \) jest równa \(12\). Wyznacz najmniejszą wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -4,-2\rangle \).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Punktem wyjścia jest analiza postaci funkcji i jej własności.

# Analiza funkcji

Funkcja $$f(x) = a(x-2)^2 - 4$$

jest w postaci kanonicznej z wierzchołkiem w punkcie \(W = (2, -4)\).

**Rozważmy dwa przypadki:**

## Przypadek 1: \(a > 0\)

Parabola ma ramiona skierowane do góry, więc:
- wartość największa w przedziale \(\langle -4, -2 \rangle\) jest w punkcie **najbardziej oddalonym** od wierzchołka
- wartość najmniejsza jest w punkcie **najbliższym** wierzchołkowi

Wierzchołek jest w \(x = 2\), a przedział to \(\langle -4, -2 \rangle\).

Odległości od wierzchołka:
- \(|(-4) - 2| = 6\)
- \(|(-2) - 2| = 4\)

Największa wartość: \(f(-4) = a(-4-2)^2 - 4 = 36a - 4 = 12\)

$$36a - 4 = 12$$
$$36a = 16$$
$$a = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$$

Najmniejsza wartość: \(f(-2) = \frac{4}{9}(-2-2)^2 - 4 = \frac{4}{9} \cdot 16 - 4\)

$$f(-2) = \frac{64}{9} - 4 = \frac{64}{9} - \frac{36}{9} = \frac{28}{9}$$

## Przypadek 2: \(a  0\).

## Wniosek

Jedyne rozwiązanie: \(a = \frac{4}{9}\)

Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -4, -2 \rangle\) wynosi:

$$f(-2) = \frac{28}{9}$$

**Odpowiedź: \(\frac{28}{9}\)**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\frac{28}{9}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/38)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F38)

## Podobne zadania

- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/33) — Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odleg
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) Wykres funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty 𝐴= (-5, 0)
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) (32) Punkty 𝐴= (-20, 12) i 𝐵= (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑦 układu 
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2018/zad/32) — W układzie współrzędnych punkty \(A = (4,3)\) i \(B = (10, 5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y = 2x + 3\). 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_