# Matematyka — zadanie 39

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/39
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Funkcja kwadratowa

## Treść

Funkcja kwadratowa \(f\), której miejscami zerowymi są liczby \(-2\) i \(4\), dla argumentu \(1\) przyjmuje wartość \(3\). Uzasadnij, że wykres funkcji \(f\) ma dwa punkty wspólne z prostą \(y=2\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Wyznacza się wzór funkcji kwadratowej, a następnie wykażę, że równanie \(f(x) = 2\) ma dwa różne rozwiązania.

## Krok 1: Wyznaczenie wzoru funkcji

Skoro miejscami zerowymi są \(-2\) i \(4\), funkcję można zapisać w postaci iloczynowej:

$$f(x) = a(x + 2)(x - 4)$$

gdzie \(a \neq 0\).

## Krok 2: Wyznaczenie współczynnika \(a\)

Korzysta się z warunku \(f(1) = 3\):

$$f(1) = a(1 + 2)(1 - 4) = 3$$

$$a \cdot 3 \cdot (-3) = 3$$

$$-9a = 3$$

$$a = -\frac{1}{3}$$

Zatem:

$$f(x) = -\frac{1}{3}(x + 2)(x - 4)$$

## Krok 3: Rozwinięcie wzoru funkcji

$$f(x) = -\frac{1}{3}(x^2 - 4x + 2x - 8)$$

$$f(x) = -\frac{1}{3}(x^2 - 2x - 8)$$

$$f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{8}{3}$$

## Krok 4: Analiza równania \(f(x) = 2\)

Wykres funkcji \(f\) ma punkty wspólne z prostą \(y = 2\), gdy równanie \(f(x) = 2\) ma rozwiązania:

$$-\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{8}{3} = 2$$

$$-\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{8}{3} - 2 = 0$$

$$-\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{2}{3} = 0$$

Mnoży się przez \(-3\):

$$x^2 - 2x - 2 = 0$$

## Krok 5: Obliczenie wyróżnika

$$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$$

Ponieważ \(\Delta = 12 > 0\), równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

## Wniosek

Wykres funkcji \(f\) ma dokładnie **dwa punkty wspólne** z prostą \(y = 2\), ponieważ równanie \(f(x) = 2\) ma wyróżnik dodatni (\(\Delta = 12 > 0\)), co oznacza dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Wykazano, że wykres ma dwa punkty wspólne z prostą \(y=2\), bo \(\Delta=12>0\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/39)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F39)

## Podobne zadania

- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/33) — Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odleg
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) Wykres funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty 𝐴= (-5, 0)
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) (32) Punkty 𝐴= (-20, 12) i 𝐵= (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑦 układu 
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2018/zad/32) — W układzie współrzędnych punkty \(A = (4,3)\) i \(B = (10, 5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y = 2x + 3\). 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_