# Matematyka — zadanie 42

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/42
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Trygonometria

## Treść

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha \) i \(\beta \), w którym \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}\). Wtedy

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-42.png]

Dane jest, że w trójkącie prostokątnym \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}\), gdzie \(\alpha\) i \(\beta\) to kąty ostre.

**Krok 2: Znajdźmy \(\cos \alpha\)**

Z jedynki trygonometrycznej:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\frac{6}{9} + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\frac{2}{3} + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$$

$$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

(wartość dodatnia, bo \(\alpha\) jest kątem ostrym)

Opcja A jest błędna, bo \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \neq \frac{\sqrt{3}}{2}\).

**Krok 3: Wykorzystajmy związek między kątami**

W trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych wynosi \(90°\), więc:
$$\alpha + \beta = 90°$$

Zatem:
$$\beta = 90° - \alpha$$

**Krok 4: Znajdźmy \(\cos \beta\)**

Ze wzoru na kąty dopełniające:
$$\cos \beta = \cos(90° - \alpha) = \sin \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$$

Opcja B jest **prawdziwa**.

**Krok 5: Sprawdźmy opcję C**

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$$

Opcja C jest błędna, bo \(\operatorname{tg} \alpha = \sqrt{2} \neq \frac{\sqrt{3}}{3}\).

**Krok 6: Sprawdźmy opcję D**

$$\operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{3}{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Opcja D jest błędna, bo \(\operatorname{tg} \beta = \frac{\sqrt{2}}{2} \neq \frac{\sqrt{6}}{2}\).

**Odpowiedź: B**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/42)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F42)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_