# Matematyka — zadanie 43

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/43
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Trygonometria

## Treść

Dana jest liczba \(a=\sin 72^\circ \). Zapisz liczbę \(1+\operatorname{tg}^2 72^\circ \) w zależności od \(a\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Musimy wyrazić \(1 + \operatorname{tg}^2 72°\) przez \(a = \sin 72°\).

**Krok 1: Użycie tożsamości trygonometrycznej**

Przypominam podstawową tożsamość trygonometryczną:
$$1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

Dowód tej tożsamości: dzielimy obie strony \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) przez \(\cos^2 \alpha\):
$$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$
$$\operatorname{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

**Krok 2: Zastosowanie tożsamości dla kąta 72°**

Dla \(\alpha = 72°\):
$$1 + \operatorname{tg}^2 72° = \frac{1}{\cos^2 72°}$$

**Krok 3: Wyrażenie \(\cos^2 72°\) przez \(\sin 72°\)**

Z podstawowej tożsamości pitagorejskiej:
$$\sin^2 72° + \cos^2 72° = 1$$

Stąd:
$$\cos^2 72° = 1 - \sin^2 72°$$

**Krok 4: Podstawienie \(a = \sin 72°\)**

Mamy \(a = \sin 72°\), więc:
$$\cos^2 72° = 1 - a^2$$

**Krok 5: Podstawienie do wzoru**

$$1 + \operatorname{tg}^2 72° = \frac{1}{\cos^2 72°} = \frac{1}{1 - a^2}$$

**Odpowiedź:** $$\boxed{\frac{1}{1-a^2}}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\frac{1}{1-a^2}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/43)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F43)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_