# Matematyka — zadanie 44

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/44
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Trygonometria

## Treść

Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{2\sin \alpha -3\cos \alpha }{3\cos \alpha -5\sin \alpha }\), jeśli wiadomo, że \(\alpha \) jest kątem ostrym oraz \(\operatorname{tg} \alpha =3\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Skoro \(\operatorname{tg} \alpha = 3\), to \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 3\), czyli \(\sin \alpha = 3\cos \alpha\).

Podstawia się \(\sin \alpha = 3\cos \alpha\) do danego wyrażenia:

$$\frac{2\sin \alpha - 3\cos \alpha}{3\cos \alpha - 5\sin \alpha} = \frac{2 \cdot 3\cos \alpha - 3\cos \alpha}{3\cos \alpha - 5 \cdot 3\cos \alpha}$$

Upraszcza się licznik:
$$2 \cdot 3\cos \alpha - 3\cos \alpha = 6\cos \alpha - 3\cos \alpha = 3\cos \alpha$$

Upraszcza się mianownik:
$$3\cos \alpha - 5 \cdot 3\cos \alpha = 3\cos \alpha - 15\cos \alpha = -12\cos \alpha$$

Otrzymuje się:
$$\frac{3\cos \alpha}{-12\cos \alpha}$$

Skracam przez \(\cos \alpha\) (możemy to zrobić, bo \(\alpha\) jest kątem ostrym, więc \(\cos \alpha \neq 0\)):

$$\frac{3}{-12} = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$$

**Odpowiedź:** \(-\frac{1}{4}\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(-\frac{1}{4}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/44)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F44)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_