# Matematyka — zadanie 45

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/45
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Trygonometria

## Treść

Kąty \(\alpha \) i \(\beta \) są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym i \(\cos \alpha =\frac{2}{5}\). Oblicz \(\operatorname{tg} \alpha \cdot \sin \beta \).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-45.png]

Skoro \(\alpha\) i \(\beta\) są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym, to:

$$\alpha + \beta = 90°$$

czyli \(\beta = 90° - \alpha\), więc \(\sin \beta = \sin(90° - \alpha) = \cos \alpha\).

**Krok 2: Obliczamy \(\sin \alpha\)**

Z jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$$

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, \(\sin \alpha > 0\):

$$\sin \alpha = \frac{\sqrt{21}}{5}$$

**Krok 3: Obliczamy \(\operatorname{tg} \alpha\)**

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{21}}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{\sqrt{21}}{2}$$

**Krok 4: Obliczamy \(\sin \beta\)**

Z zależności między kątami:

$$\sin \beta = \cos \alpha = \frac{2}{5}$$

**Krok 5: Obliczamy iloczyn**

$$\operatorname{tg} \alpha \cdot \sin \beta = \frac{\sqrt{21}}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2\sqrt{21}}{10} = \frac{\sqrt{21}}{5}$$

**Odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{21}}{5}\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{21}}{5}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/45)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F45)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_