# Matematyka — zadanie 46

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/46
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Trygonometria

## Treść

Dla pewnego kąta ostrego \(\alpha \) funkcje trygonometryczne sinus i cosinus mają wartości \(\sin \alpha =a-\frac{1}{4}\), \(\cos \alpha =a+\frac{1}{4}\). Uzasadnij, że \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{4-\sqrt{7}}{3}\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Korzysta się z jedynki trygonometrycznej, aby wyznaczyć wartość \(a\), a następnie oblicza tangens.

## Krok 1: Zastosowanie jedynki trygonometrycznej

Dla dowolnego kąta zachodzi:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Podstawia się dane wartości:
$$\left(a - \frac{1}{4}\right)^2 + \left(a + \frac{1}{4}\right)^2 = 1$$

## Krok 2: Rozwinięcie kwadratów

$$a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = 1$$

$$a^2 - \frac{a}{2} + \frac{1}{16} + a^2 + \frac{a}{2} + \frac{1}{16} = 1$$

## Krok 3: Uproszczenie równania

Wyrazy \(-\frac{a}{2}\) i \(+\frac{a}{2}\) się znoszą:
$$2a^2 + \frac{2}{16} = 1$$

$$2a^2 + \frac{1}{8} = 1$$

$$2a^2 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$

$$a^2 = \frac{7}{16}$$

## Krok 4: Wyznaczenie wartości \(a\)

$$a = \pm\frac{\sqrt{7}}{4}$$

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, to \(\sin \alpha > 0\) i \(\cos \alpha > 0\).

Sprawdza się warunek \(\sin \alpha > 0\):
$$a - \frac{1}{4} > 0 \implies a > \frac{1}{4}$$

Ponieważ \(\frac{\sqrt{7}}{4} \approx \frac{2{,}65}{4} \approx 0{,}66 > 0{,}25\), to wybiera się:
$$a = \frac{\sqrt{7}}{4}$$

## Krok 5: Obliczenie sinusa i cosinusa

$$\sin \alpha = \frac{\sqrt{7}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{7} - 1}{4}$$

$$\cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{7} + 1}{4}$$

## Krok 6: Obliczenie tangensa

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{7} - 1}{4}}{\frac{\sqrt{7} + 1}{4}} = \frac{\sqrt{7} - 1}{\sqrt{7} + 1}$$

## Krok 7: Wymiernienie mianownika

Mnoży się licznik i mianownik przez \(\sqrt{7} - 1\):
$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{(\sqrt{7} - 1)^2}{(\sqrt{7} + 1)(\sqrt{7} - 1)} = \frac{7 - 2\sqrt{7} + 1}{7 - 1} = \frac{8 - 2\sqrt{7}}{6} = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$$

Wykazałem, że \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Wykazano, że \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{4-\sqrt{7}}{3}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/46)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F46)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_