# Matematyka — zadanie 47

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/47
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Trygonometria, średnia arytmetyczna, statystyka

## Treść

Kąt \(\alpha \) jest kątem ostrym oraz \(\cos \alpha =\frac{2}{3}\). Wykaż, że średnia arytmetyczna liczb: \(a=\sin \alpha \), \(b=\frac{1}{2}\) oraz \(c=\frac{\operatorname{tg} \alpha }{3}\) jest równa \(\frac{\sqrt{5}+1}{6}\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Musimy wykazać, że średnia arytmetyczna liczb \(a\), \(b\), \(c\) wynosi \(\frac{\sqrt{5}+1}{6}\).

## Krok 1: Obliczenie \(\sin \alpha\)

Z jedynki trygonometrycznej:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Podstawiamy \(\cos \alpha = \frac{2}{3}\):
$$\sin^2 \alpha + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1$$

$$\sin^2 \alpha + \frac{4}{9} = 1$$

$$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, \(\sin \alpha > 0\), więc:
$$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$$

Zatem \(a = \frac{\sqrt{5}}{3}\).

## Krok 2: Obliczenie \(\operatorname{tg} \alpha\)

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$

Stąd:
$$c = \frac{\operatorname{tg} \alpha}{3} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{3} = \frac{\sqrt{5}}{6}$$

## Krok 3: Obliczenie średniej arytmetycznej

Mamy:
- \(a = \frac{\sqrt{5}}{3}\)
- \(b = \frac{1}{2}\)
- \(c = \frac{\sqrt{5}}{6}\)

Średnia arytmetyczna:
$$\frac{a + b + c}{3} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{6}}{3}$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika (6):
$$\frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{2\sqrt{5}}{6}, \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}, \quad \frac{\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{6}$$

$$\frac{a + b + c}{3} = \frac{\frac{2\sqrt{5} + 3 + \sqrt{5}}{6}}{3} = \frac{\frac{3\sqrt{5} + 3}{6}}{3}$$

$$= \frac{3\sqrt{5} + 3}{6 \cdot 3} = \frac{3(\sqrt{5} + 1)}{18} = \frac{\sqrt{5} + 1}{6}$$

Zatem średnia arytmetyczna liczb \(a\), \(b\), \(c\) jest równa \(\frac{\sqrt{5}+1}{6}\), co należało wykazać. ∎

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Wykazano, że średnia arytmetyczna jest równa \(\frac{\sqrt{5}+1}{6}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/47)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F47)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4.13.b](https://matura.lol/question/skul-1203/zad/4.13.b) — W tym zadaniu musisz obliczyć obwód trójkąta o przeciwprostokątnej 2cm i długości jednej z przyprostokątnych równej średniej arytmetycznej długości przeciwprost
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2026-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-5) Ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Suma 𝑆10 dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest rów
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-5) W nieskończonym ciągu arytmetycznym ( ) na , określonym dla 1 n ≥, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia aryt
- [Zadanie 44](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2015/zad/44) — Zadanie 44. (0-5) W roku 2015 na uroczystości urodzinowej ktoś spytał jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: jeżeli swój wiek sprzed 27 lat pomnożę przez s

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_