# Matematyka — zadanie 48

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/48
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Trygonometria

## Treść

Wykaż, że jeżeli \(\alpha \) i \(\beta \) są kątami ostrymi takimi, że \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{35}}{6}\) oraz \(\operatorname{tg} \beta =\sqrt{35}\), to \(\alpha =\beta \).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Aby wykazać, że \(\alpha = \beta\), wystarczy pokazać, że \(\sin \alpha = \sin \beta\) lub \(\tan \alpha = \tan \beta\) (przy założeniu, że oba kąty są ostre).

**Krok 1: Znajdźmy \(\cos \alpha\)**

Dane: \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{35}}{6}\)

Z tożsamości \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\):

$$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{35}}{6}\right)^2 = 1 - \frac{35}{36} = \frac{1}{36}$$

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, \(\cos \alpha > 0\), więc:

$$\cos \alpha = \frac{1}{6}$$

**Krok 2: Obliczmy \(\tan \alpha\)**

$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{35}}{6}}{\frac{1}{6}} = \frac{\sqrt{35}}{6} \cdot \frac{6}{1} = \sqrt{35}$$

**Krok 3: Porównajmy z daną dla kąta \(\beta\)**

Dane: \(\tan \beta = \sqrt{35}\)

Z kroków powyżej mamy:
$$\tan \alpha = \sqrt{35} = \tan \beta$$

**Krok 4: Wnioskowanie**

Ponieważ oba kąty \(\alpha\) i \(\beta\) są ostre (należą do przedziału \((0°, 90°)\)), a funkcja tangens jest różnowartościowa w tym przedziale, więc z równości \(\tan \alpha = \tan \beta\) wynika, że:

$$\alpha = \beta$$

co należało wykazać. \(\square\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Wykazano, że \(\alpha = \beta\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/48)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F48)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_