# Matematyka — zadanie 49

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/49
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Funkcje

## Treść

Funkcja wymierna \(f\) jest dana wzorem \(f(x)=\frac{x^2+2x-3}{x^2-3x-6}\). Wyznacz wszystkie wartości argumentu, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartość \(2\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Szukamy wszystkich \(x\), dla których \(f(x) = 2\).

**Krok 1: Zapisanie równania**

$$f(x) = 2$$

$$\frac{x^2+2x-3}{x^2-3x-6} = 2$$

**Krok 2: Określenie dziedziny**

Mianownik musi być różny od zera: \(x^2-3x-6 \neq 0\)

$$\Delta = 9 + 24 = 33$$

$$x \neq \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$$

**Krok 3: Rozwiązanie równania**

Mnożymy obie strony przez mianownik (przy założeniu, że \(x^2-3x-6 \neq 0\)):

$$x^2+2x-3 = 2(x^2-3x-6)$$

$$x^2+2x-3 = 2x^2-6x-12$$

Przenosimy wszystko na lewą stronę:

$$x^2+2x-3 - 2x^2+6x+12 = 0$$

$$-x^2+8x+9 = 0$$

Mnożymy przez \(-1\):

$$x^2-8x-9 = 0$$

**Krok 4: Rozwiązanie równania kwadratowego**

$$\Delta = 64 + 36 = 100$$

$$x = \frac{8 \pm 10}{2}$$

$$x_1 = \frac{8+10}{2} = 9$$

$$x_2 = \frac{8-10}{2} = -1$$

**Krok 5: Sprawdzenie dziedziny**

Sprawdzamy, czy \(x_1 = 9\) i \(x_2 = -1\) należą do dziedziny:

Dla \(x = 9\): 
$$x^2-3x-6 = 81-27-6 = 48 \neq 0$$ ✓

Dla \(x = -1\): 
$$x^2-3x-6 = 1+3-6 = -2 \neq 0$$ ✓

Obie wartości należą do dziedziny.

**Odpowiedź:**

Funkcja \(f\) przyjmuje wartość \(2\) dla \(x = -1\) oraz \(x = 9\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(x=-1\) lub \(x=9\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/49)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F49)

## Podobne zadania

- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (10 pkt) Funkcja h jest określona wzorem . Wyznacz wszystkie wartości parametru dla których równanie ma dwa różne pierwiastki. ) 5 ( log ) 4 ( log )
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18. a) Wykaż, że pole 𝑃 każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości 𝑏 rami
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne 𝐴𝐵𝐶 o przeciwprostokątnej 𝐴𝐵 i obwodzie równym 4. Niech 𝑥= |𝐴𝐶|. a) Wykaż, że pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji ( ) 1 2 + x x f oraz ( ) x x x g 1 Na podstawie wykonanego rysunku określ liczbę u

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_