# Matematyka — zadanie 50

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/50
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Funkcja kwadratowa

## Treść

Najmniejszą wartością, jaką funkcja kwadratowa \(f\) dana wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\) przyjmuje w przedziale \(\langle 0,4\rangle \), jest \(f(2)\). Uzasadnij, że \(a\gt 0\) i \(b\lt 0\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Analizuje się warunki zadania i wyciągam wnioski o znakach współczynników.

## Analiza warunku o minimum

Funkcja kwadratowa osiąga najmniejszą wartość w przedziale ⟨0,4⟩ w punkcie x = 2.

Ponieważ 2 znajduje się wewnątrz przedziału (0  0\)

Funkcja kwadratowa \(f(x) = ax^2 + bx + c\) ma ekstremum w wierzchołku o współrzędnej:
$$x_w = -\frac{b}{2a}$$

Z warunku zadania wiemy, że minimum znajduje się w x = 2, więc:
$$-\frac{b}{2a} = 2$$

Jeśli funkcja kwadratowa osiąga **minimum** (a nie maksimum) w swoim wierzchołku, to ramiona paraboli są skierowane do góry.

**Wniosek: \(a > 0\)** ✓

(Gdyby \(a  0\), to:
$$b = -4a  0\)** - ponieważ funkcja ma minimum (a nie maksimum) w swoim wierzchołku
- **\(b  0\), to \(b < 0\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Wykazano, że \(a>0\) i \(b<0\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/50)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F50)

## Podobne zadania

- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/33) — Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odleg
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) Wykres funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty 𝐴= (-5, 0)
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) (32) Punkty 𝐴= (-20, 12) i 𝐵= (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑦 układu 
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2018/zad/32) — W układzie współrzędnych punkty \(A = (4,3)\) i \(B = (10, 5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y = 2x + 3\). 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_