# Matematyka — zadanie 51

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/51
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Funkcja kwadratowa

## Treść

Funkcja kwadratowa \(f\) przyjmuje w przedziale \(\langle 0,3\rangle \) największą wartość dla argumentów \(0\) i \(3\). Uzasadnij, że w przedziale \(\langle -2,5\rangle \) funkcja \(f\) przyjmuje największą wartość dla argumentów \(-2\) i \(5\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Analizuje się własności funkcji kwadratowej na podstawie danych informacji.

## Analiza warunku początkowego

Funkcja kwadratowa \(f\) przyjmuje w przedziale \(\langle 0,3\rangle\) największą wartość dla argumentów \(0\) i \(3\).

Ponieważ największa wartość jest osiągana w **dwóch różnych punktach** przedziału, to:
- Wartość ta jest osiągana na **brzegach przedziału**: \(f(0) = f(3)\)
- Maximum nie leży wewnątrz przedziału \(\langle 0,3\rangle\)

## Wyznaczenie osi symetrii

Skoro \(f(0) = f(3)\) i \(f\) jest funkcją kwadratową, to punkty \(x = 0\) i \(x = 3\) są **równoodległe od osi symetrii** paraboli.

Oś symetrii:
$$x_w = \frac{0 + 3}{2} = \frac{3}{2}$$

## Określenie kształtu paraboli

Ponieważ na brzegach przedziału \(\langle 0,3\rangle\) funkcja przyjmuje wartość największą (w tym przedziale), a oś symetrii \(x_w = \frac{3}{2}\) leży wewnątrz przedziału, to:

- Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie \(x_w = \frac{3}{2}\)
- W tym punkcie funkcja przyjmuje wartość **najmniejszą** (w przedziale \(\langle 0,3\rangle\))
- Ramiona paraboli są skierowane **do góry** (czyli \(a > 0\))

## Analiza przedziału \(\langle -2, 5\rangle\)

Oś symetrii \(x_w = \frac{3}{2}\) dzieli przedział \(\langle -2, 5\rangle\).

Sprawdza się odległości brzegów od osi symetrii:
- Odległość \(x = -2\) od osi: $$\left|-2 - \frac{3}{2}\right| = \left|-\frac{7}{2}\right| = \frac{7}{2}$$

- Odległość \(x = 5\) od osi: $$\left|5 - \frac{3}{2}\right| = \frac{7}{2}$$

## Wniosek

Punkty \(x = -2\) i \(x = 5\) są **równoodległe od osi symetrii** paraboli, więc:
$$f(-2) = f(5)$$

Ponieważ:
- Parabola ma ramiona skierowane do góry
- Wierzchołek (minimum) znajduje się w \(x_w = \frac{3}{2} \in \langle -2, 5\rangle\)
- Punkty \(-2\) i \(5\) to brzegi przedziału, najdalej oddalone od wierzchołka

To właśnie w punktach \(x = -2\) i \(x = 5\) funkcja \(f\) przyjmuje **największą wartość** w przedziale \(\langle -2, 5\rangle\).

**Uzasadnienie jest kompletne.**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Wykazano, że największa wartość jest dla argumentów \(-2\) i \(5\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/51)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F51)

## Podobne zadania

- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/33) — Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odleg
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) Wykres funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty 𝐴= (-5, 0)
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) (32) Punkty 𝐴= (-20, 12) i 𝐵= (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑦 układu 
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2018/zad/32) — W układzie współrzędnych punkty \(A = (4,3)\) i \(B = (10, 5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y = 2x + 3\). 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_