# Matematyka — zadanie 53

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/53
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Ciągi

## Treść

W pewnym ciągu geometrycznym \(a_n\) wyraz \(a_4\) jest osiem razy większy od wyrazu \(a_1\). Drugi wyraz tego ciągu jest równy \(6\). Znajdź najmniejszą liczbę naturalną \(k\) taką, że \(a_k\gt 100\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Krok 1: Zapisanie danych zadania

W ciągu geometrycznym \((a_n)\) zachodzi \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\), gdzie \(q\) to iloraz ciągu.

Dane:
- \(a_4 = 8a_1\)
- \(a_2 = 6\)

## Krok 2: Znalezienie ilorazu ciągu

Z pierwszego warunku:
$$a_4 = a_1 \cdot q^3 = 8a_1$$

Dzieląc obie strony przez \(a_1\) (zakładając \(a_1 \neq 0\)):
$$q^3 = 8$$
$$q = 2$$

## Krok 3: Znalezienie pierwszego wyrazu

Z drugiego warunku:
$$a_2 = a_1 \cdot q = 6$$

Podstawiając \(q = 2\):
$$a_1 \cdot 2 = 6$$
$$a_1 = 3$$

## Krok 4: Zapisanie wzoru ogólnego

Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu:
$$a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$$

## Krok 5: Znalezienie najmniejszego \(k\) takiego, że \(a_k > 100\)

Musimy rozwiązać nierówność:
$$3 \cdot 2^{k-1} > 100$$
$$2^{k-1} > \frac{100}{3}$$
$$2^{k-1} > 33{,}333...$$

Obliczamy kolejne potęgi dwójki:
- \(2^5 = 32  33{,}33...\)

Zatem:
$$k - 1 \geq 6$$
$$k \geq 7$$

## Krok 6: Weryfikacja

Sprawdzamy:
$$a_6 = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96  100$$

## Odpowiedź

Najmniejsza liczba naturalna \(k\) taka, że \(a_k > 100\) to **\(k = 7\)**.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(k=7\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/53)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F53)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_