# Matematyka — zadanie 57

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/57
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Ciągi, średnia arytmetyczna, statystyka

## Treść

Suma \(23\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) dla \(n\ge 1\) jest równa \(1564\). Oblicz średnią arytmetyczną wyrazów \(a_3\) i \(a_{21}\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy pierwszy wyraz ciągu przez \(a_1\), a różnicę ciągu przez \(r\).

## Krok 1: Wykorzystanie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego

Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem:

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

Można też zapisać:

$$S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)r)}{2}$$

## Krok 2: Zapisanie warunku z treści zadania

Mamy \(S_{23} = 1564\), zatem:

$$S_{23} = \frac{23(a_1 + a_{23})}{2} = 1564$$

## Krok 3: Obliczenie sumy \(a_1 + a_{23}\)

$$23(a_1 + a_{23}) = 3128$$

$$a_1 + a_{23} = \frac{3128}{23} = 136$$

## Krok 4: Wyrażenie \(a_{23}\) przez wzór ogólny

W ciągu arytmetycznym:

$$a_{23} = a_1 + 22r$$

Podstawiając do równania z Kroku 3:

$$a_1 + (a_1 + 22r) = 136$$

$$2a_1 + 22r = 136$$

$$a_1 + 11r = 68$$

## Krok 5: Obliczenie średniej arytmetycznej \(a_3\) i \(a_{21}\)

Wyrażamy te wyrazy przez wzór ogólny:
- \(a_3 = a_1 + 2r\)
- \(a_{21} = a_1 + 20r\)

Średnia arytmetyczna:

$$\frac{a_3 + a_{21}}{2} = \frac{(a_1 + 2r) + (a_1 + 20r)}{2}$$

$$= \frac{2a_1 + 22r}{2} = \frac{2(a_1 + 11r)}{2} = a_1 + 11r$$

## Krok 6: Odpowiedź końcowa

Z Kroku 4 wiemy, że \(a_1 + 11r = 68\).

**Odpowiedź: \(68\)**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(68\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/57)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F57)

## Podobne zadania

- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-5) W nieskończonym ciągu arytmetycznym ( ) na , określonym dla 1 n ≥, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia aryt
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych 
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2019/zad/32) — Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Różnicą tego ciągu jest liczba \(r = -4\), a średnia arytmetyczna początkowyc

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_