# Matematyka — zadanie 58

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/58
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Ciągi

## Treść

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla \(n\ge 1\). Wykaż, że ciąg \((b_n)\), określony dla \(n\ge 1\) wzorem ogólnym \(b_n=2a_{n+2}+4a_{n+4}\) jest arytmetyczny.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Aby wykazać, że ciąg \((b_n)\) jest arytmetyczny, trzeba udowodnić, że różnica \(b_{n+1} - b_n\) jest stała (niezależna od \(n\)).

## Krok 1: Zapisuje się wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Ponieważ \((a_n)\) jest ciągiem arytmetycznym, to:
$$a_n = a_1 + (n-1)r$$
gdzie \(r\) jest różnicą ciągu.

## Krok 2: Wyraża się wyrazy ciągu \((b_n)\)

$$b_n = 2a_{n+2} + 4a_{n+4}$$

Podstawia się wzór ogólny:
$$b_n = 2[a_1 + (n+1)r] + 4[a_1 + (n+3)r]$$

## Krok 3: Upraszcza się wyrażenie na \(b_n\)

$$b_n = 2a_1 + 2(n+1)r + 4a_1 + 4(n+3)r$$

$$b_n = 6a_1 + 2(n+1)r + 4(n+3)r$$

$$b_n = 6a_1 + (2n + 2)r + (4n + 12)r$$

$$b_n = 6a_1 + 6nr + 14r$$

$$b_n = 6a_1 + 14r + 6nr$$

## Krok 4: Oblicza się \(b_{n+1}\)

$$b_{n+1} = 6a_1 + 14r + 6(n+1)r$$

$$b_{n+1} = 6a_1 + 14r + 6nr + 6r$$

$$b_{n+1} = 6a_1 + 14r + 6nr + 6r$$

## Krok 5: Oblicza się różnicę \(b_{n+1} - b_n\)

$$b_{n+1} - b_n = (6a_1 + 14r + 6nr + 6r) - (6a_1 + 14r + 6nr)$$

$$b_{n+1} - b_n = 6r$$

## Wniosek

Różnica \(b_{n+1} - b_n = 6r\) jest stała (niezależna od \(n\)), co oznacza, że ciąg \((b_n)\) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy równej \(6r\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Wykazano, że ciąg \((b_n)\) jest arytmetyczny

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/58)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F58)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_