# Matematyka — zadanie 59

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/59
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Ciągi

## Treść

Skończony ciąg arytmetyczny ma nieparzystą liczbę wyrazów. Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi. Uzasadnij, że środkowy wyraz jest dzielnikiem sumy tych wyrazów.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy przez \(n = 2k+1\) liczbę wyrazów ciągu (nieparzysta), gdzie \(k \geq 0\) jest liczbą całkowitą.

**Krok 1: Wyrażenie środkowego wyrazu**

Środkowym wyrazem ciągu o \(2k+1\) wyrazach jest wyraz o numerze \(k+1\), czyli:
$$a_{k+1}$$

**Krok 2: Wzór na sumę ciągu arytmetycznego**

Suma ciągu arytmetycznego o \(n\) wyrazach wynosi:
$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

Dla naszego ciągu:
$$S_{2k+1} = \frac{(2k+1)(a_1 + a_{2k+1})}{2}$$

**Krok 3: Wyrażenie pierwszego i ostatniego wyrazu przez środkowy**

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz (dla nieparzystej liczby wyrazów) jest średnią arytmetyczną pierwszego i ostatniego wyrazu:
$$a_{k+1} = \frac{a_1 + a_{2k+1}}{2}$$

Stąd:
$$a_1 + a_{2k+1} = 2a_{k+1}$$

**Krok 4: Podstawienie do wzoru na sumę**

$$S_{2k+1} = \frac{(2k+1) \cdot 2a_{k+1}}{2} = (2k+1) \cdot a_{k+1}$$

**Krok 5: Wniosek**

Otrzymaliśmy:
$$S_{2k+1} = (2k+1) \cdot a_{k+1}$$

Suma wszystkich wyrazów jest iloczynem liczby wyrazów i środkowego wyrazu. Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu są liczbami całkowitymi, to również \(a_{k+1}\) jest liczbą całkowitą.

Zatem suma \(S_{2k+1}\) jest podzielna przez środkowy wyraz \(a_{k+1}\), co kończy dowód.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Wykazano, że środkowy wyraz jest dzielnikiem sumy

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/59)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F59)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_