# Matematyka — zadanie 61

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/61
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Ciągi

## Treść

W ciągu geometrycznym \((a_n)\), w którym \(a_1=1\), znane są wartości dwóch wyrazów: \(a_k=16\) i \(a_{k+2}=32\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą całkowitą dodatnią. Wyznacz wyraz \(a_{10}\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Zapiszmy wzór ogólny na wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

gdzie \(q\) to iloraz ciągu.

**Krok 1: Wykorzystanie danych o wyrazach \(a_k\) i \(a_{k+2}\)**

Z warunków zadania:
$$a_k = a_1 \cdot q^{k-1} = 1 \cdot q^{k-1} = 16$$
$$a_{k+2} = a_1 \cdot q^{k+1} = 1 \cdot q^{k+1} = 32$$

**Krok 2: Znalezienie \(q^2\)**

Podzielmy drugie równanie przez pierwsze:
$$\frac{a_{k+2}}{a_k} = \frac{q^{k+1}}{q^{k-1}} = q^2$$

$$q^2 = \frac{32}{16} = 2$$

**Krok 3: Znalezienie \(q\)**

$$q = \sqrt{2} \quad \text{lub} \quad q = -\sqrt{2}$$

**Krok 4: Znalezienie \(k\) dla każdego przypadku**

**Przypadek 1:** \(q = \sqrt{2}\)

Z równania \(q^{k-1} = 16\):
$$(\sqrt{2})^{k-1} = 16$$
$$2^{\frac{k-1}{2}} = 2^4$$
$$\frac{k-1}{2} = 4$$
$$k = 9$$

**Przypadek 2:** \(q = -\sqrt{2}\)

Z równania \(q^{k-1} = 16\):
$$(-\sqrt{2})^{k-1} = 16$$

Ponieważ \(16 > 0\), to \(k-1\) musi być parzyste. Wtedy:
$$(\sqrt{2})^{k-1} = 16$$
$$k = 9$$ (jak wyżej)

**Krok 5: Obliczenie \(a_{10}\)**

**Dla \(q = \sqrt{2}\):**
$$a_{10} = a_1 \cdot q^9 = 1 \cdot (\sqrt{2})^9 = (\sqrt{2})^9 = 2^{9/2} = 2^4 \cdot 2^{1/2} = 16\sqrt{2}$$

**Dla \(q = -\sqrt{2}\):**
$$a_{10} = a_1 \cdot q^9 = 1 \cdot (-\sqrt{2})^9 = -(\sqrt{2})^9 = -16\sqrt{2}$$

**Weryfikacja:**
- Dla \(q = \sqrt{2}\): \(a_9 = (\sqrt{2})^8 = 16\) ✓ oraz \(a_{11} = (\sqrt{2})^{10} = 32\) ✓
- Dla \(q = -\sqrt{2}\): \(a_9 = (-\sqrt{2})^8 = 16\) ✓ oraz \(a_{11} = (-\sqrt{2})^{10} = 32\) ✓

**Odpowiedź:** \(a_{10} = 16\sqrt{2}\) lub \(a_{10} = -16\sqrt{2}\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(16\sqrt{2}\) lub \(-16\sqrt{2}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/61)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F61)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_