# Matematyka — zadanie 62

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/62
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Procenty

## Treść

Kacper przez \(5\) dni zapisywał swoje wydatki. Zauważył, że każdego dnia wydatki były niższe o \(20\%\) w stosunku do wydatków poprzedniego dnia. Oblicz kwotę, jaką Kacper wydał w tym czasie, jeśli piątego dnia wydał \(20{,}48\) zł.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Analiza problemu

Wydatki każdego dnia były niższe o 20% w stosunku do dnia poprzedniego, co oznacza, że każdego dnia Kacper wydawał 80% kwoty z dnia poprzedniego.

Jeśli oznaczymy wydatki pierwszego dnia jako \(a_1\), to:
- dzień 1: \(a_1\)
- dzień 2: \(a_1 \cdot 0{,}8\)
- dzień 3: \(a_1 \cdot 0{,}8^2\)
- dzień 4: \(a_1 \cdot 0{,}8^3\)
- dzień 5: \(a_1 \cdot 0{,}8^4\)

Jest to ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q = 0{,}8\).

## Wyznaczenie pierwszego wyrazu

Wiemy, że piątego dnia wydał 20,48 zł, więc:

$$a_5 = a_1 \cdot 0{,}8^4 = 20{,}48$$

Obliczamy \(0{,}8^4\):

$$0{,}8^4 = 0{,}4096$$

Stąd:

$$a_1 = \frac{20{,}48}{0{,}4096} = 50$$

## Obliczenie sumy wydatków

Suma wydatków z 5 dni to suma ciągu geometrycznego:

$$S_5 = a_1 \cdot \frac{1 - q^5}{1 - q}$$

Podstawiamy \(a_1 = 50\), \(q = 0{,}8\):

$$S_5 = 50 \cdot \frac{1 - 0{,}8^5}{1 - 0{,}8}$$

Obliczamy \(0{,}8^5\):

$$0{,}8^5 = 0{,}8^4 \cdot 0{,}8 = 0{,}4096 \cdot 0{,}8 = 0{,}32768$$

Podstawiamy:

$$S_5 = 50 \cdot \frac{1 - 0{,}32768}{0{,}2} = 50 \cdot \frac{0{,}67232}{0{,}2}$$

$$S_5 = 50 \cdot 3{,}3616 = 168{,}08$$

## Odpowiedź

Kacper wydał w ciągu 5 dni **168,08 zł**.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(168{,}08\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/62)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F62)

## Podobne zadania

- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/12) — Autobus nazywamy przepełnionym, jeżeli w pewnym momencie znajduje się w nim co najmniej \(50\) pasażerów. Dwóch inspektorów monitoruje liczbę pasażerów w tych s
- [Zadanie 24](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/24) — Do napełniania basenu służą dwie pompy. Pierwsza z nich ma wydajność o \(20\%\) większą niż druga. Napełnienie pustego basenu tylko drugą pompą trwa o \(1\) god
- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2020-kwiecien-probna-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (0-4) Punkt jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego ABC, którego wierzchołek A leży na osi Ox, a wierzchołek B na osi Oy układu współrzędnych. Pro
- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (0-4) Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek je

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_