# Matematyka — zadanie 63

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/63
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Ciągi

## Treść

W ciągu geometrycznym \((a_n)\) o różnych i niezerowych wyrazach różnica między wyrazami piątym i trzecim jest trzy razy większa niż różnica między wyrazami czwartym i trzecim. Oblicz iloraz ciągu \((a_n)\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy pierwszy wyraz ciągu jako \(a_1\), a iloraz jako \(q\).

**Krok 1: Zapisanie wyrazów ciągu geometrycznego**

W ciągu geometrycznym:
- \(a_3 = a_1 \cdot q^2\)
- \(a_4 = a_1 \cdot q^3\)
- \(a_5 = a_1 \cdot q^4\)

**Krok 2: Zapisanie różnic między wyrazami**

Różnica między wyrazami piątym i trzecim:
$$a_5 - a_3 = a_1 q^4 - a_1 q^2 = a_1 q^2(q^2 - 1)$$

Różnica między wyrazami czwartym i trzecim:
$$a_4 - a_3 = a_1 q^3 - a_1 q^2 = a_1 q^2(q - 1)$$

**Krok 3: Wykorzystanie warunku z zadania**

Według treści zadania:
$$a_5 - a_3 = 3(a_4 - a_3)$$

Podstawiamy obliczone różnice:
$$a_1 q^2(q^2 - 1) = 3 \cdot a_1 q^2(q - 1)$$

**Krok 4: Uproszczenie równania**

Ponieważ \(a_1 \neq 0\) i wyrazy są różne (więc \(q \neq 0\) i \(q \neq 1\)), możemy podzielić obie strony przez \(a_1 q^2\):
$$q^2 - 1 = 3(q - 1)$$

Rozkładamy lewą stronę:
$$(q - 1)(q + 1) = 3(q - 1)$$

**Krok 5: Rozwiązanie równania**

Dzielimy obie strony przez \((q - 1)\), co jest możliwe, bo \(q \neq 1\) (wyrazy są różne):
$$q + 1 = 3$$

$$q = 2$$

**Sprawdzenie:** Dla \(q = 2\) wyrazy są różne i niezerowe, warunek jest spełniony.

**Odpowiedź: Iloraz ciągu wynosi \(q = 2\)**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(2\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/63)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F63)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_