# Matematyka — zadanie 64

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/64
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Ciągi

## Treść

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) o wszystkich wyrazach różnych od zera, określony dla \(n\ge 1\). Wykaż, że ciąg \((b_n)\), określony dla \(n\ge 1\) wzorem ogólnym \(b_n=a_n\cdot (2a_{n+2})^2\), jest geometryczny.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Aby wykazać, że ciąg \((b_n)\) jest geometryczny, trzeba udowodnić, że iloraz \(\frac{b_{n+1}}{b_n}\) jest stały (niezależny od \(n\)).

## Krok 1: Zapisuje się wzór ogólny ciągu geometrycznego

Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny, więc:
$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$
gdzie \(q \neq 0\) (iloraz ciągu).

## Krok 2: Wyznacza się potrzebne wyrazy

$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$
$$a_{n+1} = a_1 \cdot q^n$$
$$a_{n+2} = a_1 \cdot q^{n+1}$$
$$a_{n+3} = a_1 \cdot q^{n+2}$$

## Krok 3: Zapisuje się wzór na \(b_n\)

$$b_n = a_n \cdot (2a_{n+2})^2 = a_n \cdot 4a_{n+2}^2$$

Podstawia się:
$$b_n = a_1 \cdot q^{n-1} \cdot 4 \cdot (a_1 \cdot q^{n+1})^2$$
$$b_n = a_1 \cdot q^{n-1} \cdot 4 \cdot a_1^2 \cdot q^{2(n+1)}$$
$$b_n = 4a_1^3 \cdot q^{n-1} \cdot q^{2n+2}$$
$$b_n = 4a_1^3 \cdot q^{3n+1}$$

## Krok 4: Zapisuje się wzór na \(b_{n+1}\)

$$b_{n+1} = 4a_1^3 \cdot q^{3(n+1)+1} = 4a_1^3 \cdot q^{3n+4}$$

## Krok 5: Oblicza się iloraz \(\frac{b_{n+1}}{b_n}\)

$$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{4a_1^3 \cdot q^{3n+4}}{4a_1^3 \cdot q^{3n+1}} = \frac{q^{3n+4}}{q^{3n+1}} = q^{(3n+4)-(3n+1)} = q^3$$

## Wniosek

Iloraz \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = q^3\) jest stały (niezależny od \(n\)), co oznacza, że ciąg \((b_n)\) jest geometryczny o ilorazie \(q^3\).

**Uwaga:** Ponieważ \(q \neq 0\) (wszystkie wyrazy ciągu \((a_n)\) są różne od zera), to również \(q^3 \neq 0\), więc \((b_n)\) jest rzeczywiście ciągiem geometrycznym.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Wykazano, że ciąg \((b_n)\) jest geometryczny

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/64)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F64)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_