# Matematyka — zadanie 65

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/65
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Ciągi

## Treść

Dana jest funkcja wykładnicza \(f(x)=2^x\) oraz ciąg o wyrazie ogólnym \(a_n=f(3n)\), dla \(n\ge 1\). Wykaż, że ciąg \((a_n)\) jest geometryczny i oblicz iloraz tego ciągu.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Musimy wykazać, że ciąg jest geometryczny i obliczyć jego iloraz.

## Krok 1: Wyznaczenie wzoru na \(a_n\)

Mamy \(f(x) = 2^x\) oraz \(a_n = f(3n)\).

Podstawiając:
$$a_n = 2^{3n}$$

## Krok 2: Wyznaczenie wzoru na \(a_{n+1}\)

$$a_{n+1} = 2^{3(n+1)} = 2^{3n+3}$$

## Krok 3: Obliczenie ilorazu \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{3n+3}}{2^{3n}}$$

Korzystając z własności potęg \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\):

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = 2^{3n+3-3n} = 2^3 = 8$$

## Krok 4: Uzasadnienie, że ciąg jest geometryczny

Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny, ponieważ:
$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = 8 = \text{const}$$

dla wszystkich \(n \geq 1\).

Iloraz kolejnych wyrazów ciągu jest stały i nie zależy od \(n\), co jest definicją ciągu geometrycznego.

## Odpowiedź

Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny o ilorazie \(q = 8\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Ciąg jest geometryczny, iloraz \(q=8\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/65)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F65)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_