# Matematyka — zadanie 66

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/66
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Ciągi

## Treść

Skończony ciąg \((a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)\) jest geometryczny. Uzasadnij, że mając dany tylko wyraz środkowy \(a_3\), można obliczyć iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Rozważam ciąg geometryczny \((a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)\) o ilorazie \(q\).

**Krok 1: Wyrażenie wyrazów przez \(a_3\) i \(q\)**

Skoro \(a_3\) jest wyrazem środkowym, można wyrazić pozostałe wyrazy:
- \(a_2 = \frac{a_3}{q}\)
- \(a_1 = \frac{a_3}{q^2}\)
- \(a_4 = a_3 \cdot q\)
- \(a_5 = a_3 \cdot q^2\)

**Krok 2: Obliczenie iloczynu wszystkich wyrazów**

$$P = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5$$

Podstawia się wyrażenia z Kroku 1:

$$P = \frac{a_3}{q^2} \cdot \frac{a_3}{q} \cdot a_3 \cdot a_3 q \cdot a_3 q^2$$

**Krok 3: Uproszczenie**

Grupuję potęgi \(a_3\) i \(q\):

$$P = a_3^5 \cdot \frac{q^2 \cdot q}{q^2 \cdot q}$$

$$P = a_3^5 \cdot \frac{q^3}{q^3}$$

$$P = a_3^5 \cdot 1$$

$$P = a_3^5$$

**Wniosek:**

Iloczyn wszystkich wyrazów pięcioelementowego ciągu geometrycznego wynosi \(a_3^5\), czyli piątą potęgę wyrazu środkowego. Widać, że iloraz \(q\) się redukuje, więc znając jedynie \(a_3\), możemy obliczyć iloczyn wszystkich wyrazów jako \(a_3^5\).

**Uzasadnienie ogólne:** W ciągu geometrycznym wyrazy równoodległe od środka są parami symetryczne względem niego, tzn. \(a_1 \cdot a_5 = a_3^2\) oraz \(a_2 \cdot a_4 = a_3^2\), co także prowadzi do: \(P = a_3^2 \cdot a_3^2 \cdot a_3 = a_3^5\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Wykazano, że iloczyn wszystkich wyrazów jest równy \(a_3^5\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/66)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F66)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_