# Matematyka — zadanie 67

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/67
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Planimetria

## Treść

Trójkąt ostrokątny \(ABC\) jest wpisany w okrąg o środku \(O\) i promieniu \(4\). Kąt \(CAB\) jest równy kątowi \(OCB\) oraz kąt \(CBA\) jest równy kątowi \(OCA\). Oblicz długość wysokości \(CD\) opuszczonej z wierzchołka \(C\) na bok \(AB\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-67.png]

Oznaczmy \(\angle CAB = \alpha\) i \(\angle CBA = \beta\).

## Krok 2: Analiza warunków zadania

Z warunków zadania:
- \(\angle CAB = \angle OCB = \alpha\)
- \(\angle CBA = \angle OCA = \beta\)

## Krok 3: Wykorzystanie własności trójkąta równoramiennego

Ponieważ \(O\) jest środkiem okręgu, to \(|OC| = |OB| = 4\).

W trójkącie \(OCB\):
- \(|OC| = |OB| = 4\) (promienie)
- Zatem trójkąt \(OCB\) jest równoramienny

Z własności trójkąta równoramiennego: \(\angle OCB = \angle OBC\)

Wiemy, że \(\angle OCB = \alpha\), więc \(\angle OBC = \alpha\).

## Krok 4: Suma kątów w trójkącie \(OCB\)

W trójkącie \(OCB\):
$$\angle COB + \angle OCB + \angle OBC = 180°$$
$$\angle COB + \alpha + \alpha = 180°$$
$$\angle COB = 180° - 2\alpha$$

## Krok 5: Analogiczne rozumowanie dla trójkąta \(OCA\)

Podobnie, \(|OC| = |OA| = 4\), więc trójkąt \(OCA\) jest równoramienny.

Z warunku \(\angle OCA = \beta\) wynika, że \(\angle OAC = \beta\).

W trójkącie \(OCA\):
$$\angle COA = 180° - 2\beta$$

## Krok 6: Obliczenie kąta \(\angle AOB\)

Kąty środkowe przy wierzchołku \(O\) sumują się:
$$\angle AOB = 360° - \angle COB - \angle COA = 360° - (180° - 2\alpha) - (180° - 2\beta)$$
$$\angle AOB = 360° - 180° + 2\alpha - 180° + 2\beta = 2\alpha + 2\beta$$

## Krok 7: Związek między kątem środkowym a wpisanym

Kąt wpisany \(\angle ACB\) oparty na łuku \(AB\) spełnia:
$$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2}(2\alpha + 2\beta) = \alpha + \beta$$

## Krok 8: Suma kątów w trójkącie \(ABC\)

W trójkącie \(ABC\):
$$\angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180°$$
$$\alpha + \beta + (\alpha + \beta) = 180°$$
$$2\alpha + 2\beta = 180°$$
$$\alpha + \beta = 90°$$

## Krok 9: Wniosek o trójkącie

Skoro \(\angle ACB = \alpha + \beta = 90°\), to trójkąt \(ABC\) jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku \(C\).

## Krok 10: Obliczenie długości \(AB\)

Dla trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg, przeciwprostokątna jest średnicą okręgu:
$$|AB| = 2R = 2 \cdot 4 = 8$$

## Krok 11: Obliczenie wysokości \(CD\)

Wysokość \(CD\) opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym wpisanym w okrąg o promieniu \(R\) jest równa promieniowi okręgu.

Alternatywnie, punkt \(C\) leży na okręgu o średnicy \(AB\), a wysokość z \(C\) na \(AB\) jest odległością punktu \(C\) od średnicy, która dla punktu na okręgu wynosi maksymalnie \(R = 4\).

Ponieważ \(\angle ACB = 90°\), punkt \(C\) leży na półokręgu, a jego odległość od średnicy \(AB\) wynosi dokładnie promień:

$$|CD| = 4$$

**Odpowiedź: \(|CD| = 4\)**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(|CD|=4\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/67)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F67)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_