# Matematyka — zadanie 68

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/68
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Stereometria

## Treść

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest romb o boku długości \(3\). Krawędź boczna \(DS\) ma długość \(4\) i jest jednocześnie wysokością tego ostrosłupa. Długości pozostałych trzech krawędzi bocznych są równe (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Mamy ostrosłup o podstawie rombowej, gdzie jedna krawędź boczna jest wysokością.

## Analiza danych

- Podstawa: romb \(ABCD\) o boku długości 3
- Krawędź \(DS = 4\) jest wysokością ostrosłupa
- Pozostałe krawędzie boczne: \(AS = BS = CS\)

## Krok 1: Interpretacja warunku o wysokości

Jeśli \(DS\) jest wysokością ostrosłupa, to \(DS \perp\) (płaszczyzna podstawy).

Oznacza to, że punkt \(D\) jest jednocześnie wierzchołkiem podstawy i rzutem wysokości na podstawę. Zatem \(S\) leży na prostej prostopadłej do podstawy przechodzącej przez \(D\).

## Krok 2: Wyznaczenie warunków geometrycznych

Skoro \(DS \perp\) (podstawa) i \(DS = 4\), to dla pozostałych wierzchołków podstawy \(A, B, C\):

$$AS^2 = AD^2 + DS^2$$
$$BS^2 = BD^2 + DS^2$$
$$CS^2 = CD^2 + DS^2$$

## Krok 3: Wykorzystanie warunku równości krawędzi

Z warunku \(AS = BS = CS\) otrzymujemy:

$$AD^2 + 16 = BD^2 + 16 = CD^2 + 16$$

Zatem:
$$AD^2 = BD^2 = CD^2$$

czyli:
$$AD = BD = CD$$

## Krok 4: Analiza rombu

W rombie \(ABCD\):
- \(AD = 3\) (bok rombu)
- \(CD = 3\) (bok rombu)
- \(AD = BD = CD = 3\)

Oznacza to, że \(BD = 3\).

## Krok 5: Wyznaczenie kąta rombu

W trójkącie \(ABD\):
- \(AD = 3\), \(AB = 3\), \(BD = 3\)

To jest trójkąt równoboczny! Zatem \(\angle DAB = 60°\).

To jest kąt rombu: \(\alpha = 60°\).

## Krok 6: Pole podstawy

Pole rombu o boku \(a = 3\) i kącie \(\alpha = 60°\):

$$P = a^2 \sin\alpha = 3^2 \cdot \sin 60° = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$$

## Krok 7: Objętość ostrosłupa

Wzór na objętość ostrosłupa:

$$V = \frac{1}{3} \cdot P_{\text{podstawy}} \cdot H$$

gdzie \(H = DS = 4\):

$$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = \frac{1}{3} \cdot \frac{36\sqrt{3}}{2} = \frac{36\sqrt{3}}{6} = 6\sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** Objętość ostrosłupa wynosi \(6\sqrt{3}\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(6\sqrt{3}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/68)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F68)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_