# Matematyka — zadanie 69

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/69
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Na rysunku jest przedstawiona prosta zawierająca przekątną \(AC\) rombu \(ABCD\) oraz wierzchołki \(A=(-2,1)\) i \(C=(4,5)\) tego rombu. Wskaż równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) tego rombu.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Wyznacza się równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) rombu.

**Krok 1: Właściwości przekątnych rombu**

W rombie przekątne:
- przecinają się w połowie swoich długości (punkt przecięcia to środek obu przekątnych)
- są prostopadłe

**Krok 2: Wyznacza się środek przekątnej \(AC\)**

Środek odcinka \(AC\) to punkt \(S\), który jest też środkiem przekątnej \(BD\):

$$S = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{6}{2}\right) = (1, 3)$$

**Krok 3: Wyznacza się współczynnik kierunkowy prostej \(AC\)**

Dla punktów \(A=(-2,1)\) i \(C=(4,5)\):

$$a_{AC} = \frac{5-1}{4-(-2)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

**Krok 4: Wyznacza się współczynnik kierunkowy prostej \(BD\)**

Ponieważ przekątne rombu są prostopadłe, ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:

$$a_{BD} \cdot a_{AC} = -1$$

$$a_{BD} \cdot \frac{2}{3} = -1$$

$$a_{BD} = -\frac{3}{2}$$

**Krok 5: Zapisuje się równanie prostej \(BD\)**

Prosta \(BD\) przechodzi przez punkt \(S=(1,3)\) i ma współczynnik kierunkowy \(a_{BD} = -\frac{3}{2}\):

$$y - 3 = -\frac{3}{2}(x - 1)$$

$$y - 3 = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2}$$

$$y = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2} + 3$$

$$y = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2} + \frac{6}{2}$$

$$y = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$$

**Odpowiedź: D**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/69)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F69)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_