# Matematyka — zadanie 70

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/70
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku w punkcie \(O\) i promieniu r (zobacz rysunek). Cięciwa \(AC\) ma długość \(r\sqrt{3}\), więc

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Analizuje się trójkąt AOC, gdzie:
- \(|OA| = r\) (promień)
- \(|OC| = r\) (promień)
- \(|AC| = r\sqrt{3}\) (dana cięciwa)

**Krok 1:** Wyznacza się kąt AOC

Trójkąt AOC jest równoramienny (dwa boki to promienie). Stosuje się twierdzenie cosinusów:

$$|AC|^2 = |OA|^2 + |OC|^2 - 2|OA| \cdot |OC| \cdot \cos(\angle AOC)$$

Podstawia się dane:

$$(r\sqrt{3})^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 \cos(\angle AOC)$$

$$3r^2 = 2r^2 - 2r^2 \cos(\angle AOC)$$

$$3r^2 = 2r^2(1 - \cos(\angle AOC))$$

$$\frac{3}{2} = 1 - \cos(\angle AOC)$$

$$\cos(\angle AOC) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$$

Zatem:
$$|\angle AOC| = 120°$$

**Krok 2:** Sprawdza się kąt BOC

Ponieważ AB jest średnicą, punkty A, O, B są współliniowe, więc:

$$|\angle BOC| = 180° - |\angle AOC| = 180° - 120° = 60°$$

**Krok 3:** Weryfikuję pozostałe odpowiedzi

- **A.** \(|\angle AOC| = 120° \neq 130°\) ✗
- **B.** \(|\angle ABC|\) to kąt wpisany oparty na średnicy AC (nie AB), więc \(\neq 90°\) ✗
- **C.** \(|\angle BOC| = 60°\) ✓
- **D.** \(|\angle BAC|\) to kąt wpisany nad łukiem BC. Z twierdzenia o kącie wpisanym: \(|\angle BAC| = \frac{1}{2}|\angle BOC| = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30° \neq 45°\) ✗

**Odpowiedź: C**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/70)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F70)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_