# Matematyka — zadanie 71

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/71
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Planimetria

## Treść

Punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) są położone w tej kolejności na okręgu o środku \(O\) (zobacz rysunek). Odcinki \(BD\) i \(AC\) są średnicami tego okręgu oraz \(|\sphericalangle BEC|=60^\circ \). Oblicz miarę kąta \(CBD\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Korzysta się z własności kątów wpisanych i środkowych w okręgu.

## Krok 1: Kąt wpisany oparty na średnicy

Ponieważ \(BD\) jest średnicą okręgu, to kąt \(\angle BED\) oparty na tej średnicy jest kątem prostym:
$$\angle BED = 90°$$

## Krok 2: Związek między kątami w punkcie \(E\)

Punkty \(B\), \(E\), \(C\), \(D\) leżą na okręgu w kolejności wynikającej z zadania. Zauważmy, że:
$$\angle BED = \angle BEC + \angle CED$$

Podstawiając znane wartości:
$$90° = 60° + \angle CED$$
$$\angle CED = 30°$$

## Krok 3: Kąty wpisane oparte na tym samym łuku

Kąty \(\angle CBD\) i \(\angle CED\) są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku \(CD\) okręgu.

Z własności kątów wpisanych: **kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe**.

## Krok 4: Obliczenie kąta \(CBD\)

Zatem:
$$\angle CBD = \angle CED = 30°$$

**Odpowiedź:** Miara kąta \(CBD\) wynosi \(30°\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(30^\circ \)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/71)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F71)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_