# Matematyka — zadanie 72

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/72
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Planimetria

## Treść

Punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) są położone w tej kolejności na okręgu o środku \(O\) (zobacz rysunek). Odcinek \(DB\) jest średnicą tego okręgu i \(|\sphericalangle BAC|=\alpha \), \(|\sphericalangle CBD|=\beta \). Wykaż, że \(\alpha +\beta =90^\circ \).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Korzysta się z własności kątów wpisanych w okrąg oraz z twierdzenia o kącie wpisanym opartym na średnicy.

**Krok 1: Kąt wpisany oparty na średnicy**

Ponieważ \(DB\) jest średnicą okręgu, to kąt \(\sphericalangle DCB\) jest kątem wpisanym opartym na średnicy. Z twierdzenia Talesa:

$$\sphericalangle DCB = 90°$$

**Krok 2: Analiza kąta \(\beta\)**

Z oznaczenia wiemy, że \(\beta = |\sphericalangle CBD|\).

W trójkącie \(BCD\) suma kątów wynosi \(180°\):

$$\sphericalangle CBD + \sphericalangle BCD + \sphericalangle CDB = 180°$$

Podstawiając \(\sphericalangle BCD = 90°\):

$$\beta + 90° + \sphericalangle CDB = 180°$$

$$\sphericalangle CDB = 90° - \beta$$

**Krok 3: Kąty wpisane oparte na tym samym łuku**

Kąty \(\sphericalangle BAC\) i \(\sphericalangle BDC\) są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku \(BC\) (punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) leżą w tej kolejności na okręgu, więc oba kąty "widzą" łuk \(BC\) z tej samej strony cięciwy).

Z twierdzenia o kątach wpisanych opartych na tym samym łuku:

$$\sphericalangle BAC = \sphericalangle BDC$$

Zatem:

$$\alpha = \sphericalangle CDB$$

**Krok 4: Wykazanie tezy**

Z kroku 2 wiemy, że:

$$\sphericalangle CDB = 90° - \beta$$

Z kroku 3 wiemy, że:

$$\alpha = \sphericalangle CDB$$

Łącząc te równości:

$$\alpha = 90° - \beta$$

$$\alpha + \beta = 90°$$

co należało wykazać.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Wykazano, że \(\alpha + \beta = 90^\circ\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/72)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F72)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_