# Matematyka — zadanie 73

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/73
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Planimetria

## Treść

Parami różne punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) leżą na okręgu. Odcinki \(DE\) i \(AC\) są równoległe, zaś odcinek \(BD\) jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Wykaż, że prosta \(BE\) zawiera wysokość trójkąta \(ABC\) opuszczoną na bok \(AC\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Zostanie wykazane, że prosta \(BE\) jest prostopadła do \(AC\), co oznacza, że zawiera wysokość trójkąta \(ABC\) opuszczoną na bok \(AC\).

## Krok 1: Kąt oparty na średnicy

Ponieważ \(BD\) jest średnicą okręgu, to każdy kąt wpisany oparty na tym łuku wynosi \(90°\).

W szczególności punkt \(E\) leży na okręgu, więc kąt \(\angle BED\) jest kątem wpisanym opartym na średnicy \(BD\).

Zatem:
$$\angle BED = 90°$$

## Krok 2: Wykorzystanie równoległości

Z założenia wiemy, że \(DE \parallel AC\).

Kąty naprzemianległe przy prostych równoległych \(DE\) i \(AC\) przeciętych prostą \(BE\) (sieczną) są równe:
$$\angle BED = \angle BEA + \angle AED = 90°$$

gdzie \(\angle AED\) to kąt między prostymi \(EA\) i \(ED\).

## Krok 3: Kąty naprzemianległe

Rozważmy kąty utworzone przez sieczną przecinającą proste równoległe.

Ponieważ \(DE \parallel AC\), to:
$$\angle DEB = \angle EBC'$$

gdzie \(C'\) jest punktem na przedłużeniu \(AC\) lub samym \(C\).

Lepiej: kąty odpowiadające przy prostych równoległych \(DE\) i \(AC\) przeciętych sieczną \(BE\):
$$\angle DEB = \angle BEx$$

gdzie \(x\) oznacza kąt między \(BE\) a \(AC\).

## Krok 4: Prostopadłość \(BE\) i \(AC\)

Z kroku 1: \(\angle BED = 90°\)

Z własności kątów naprzemianległych dla prostych równoległych \(DE \parallel AC\) przeciętych sieczną \(BE\):

Kąt między prostą \(BE\) a prostą \(DE\) jest równy kątowi między prostą \(BE\) a prostą \(AC\) (kąty naprzemianległe).

Oznacza to, że:
$$\angle(BE, AC) = \angle BED = 90°$$

## Wniosek

Prosta \(BE\) jest prostopadła do prostej \(AC\).

Ponieważ punkt \(B\) należy do trójkąta \(ABC\), a prosta \(BE\) przechodzi przez wierzchołek \(B\) i jest prostopadła do boku \(AC\), to prosta \(BE\) zawiera wysokość trójkąta \(ABC\) opuszczoną z wierzchołka \(B\) na bok \(AC\).

$$\boxed{\text{c.b.d.u.}}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Wykazano, że prosta \(BE\) zawiera wysokość trójkąta \(ABC\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/73)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F73)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_