# Matematyka — zadanie 74

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/74
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

Końce odcinka \(AB\) o długości \(9\) są środkami okręgów o promieniach \(6\) i \(4\) (zobacz rysunek). Punkt \(C\) leży na odcinku \(AB\) i jest środkiem takiego okręgu, o promieniu większym od \(6\), że dwa dane okręgi są do niego wewnętrznie styczne. Promień okręgu o środku \(C\) ma długość

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy:
- punkt \(A\) jako środek okręgu o promieniu \(r_A = 6\)
- punkt \(B\) jako środek okręgu o promieniu \(r_B = 4\)
- punkt \(C\) jako środek szukanego okręgu o promieniu \(r_C\)
- odległość \(|AB| = 9\)

**Warunek styczności wewnętrznej**

Gdy dwa okręgi są styczne wewnętrznie, to mniejszy okrąg znajduje się wewnątrz większego i stykają się w jednym punkcie. Warunek na odległość środków:

$$d = |r_{\text{większy}} - r_{\text{mniejszy}}|$$

**Przypadek okręgu o środku \(A\)**

Okrąg o środku \(C\) ma promień \(r_C > 6\), więc jest większy od okręgu o środku \(A\). Warunek styczności wewnętrznej:

$$|AC| = r_C - r_A = r_C - 6$$

**Przypadek okręgu o środku \(B\)**

Okrąg o środku \(C\) jest również większy od okręgu o środku \(B\) (bo \(r_C > 6 > 4\)). Warunek styczności wewnętrznej:

$$|BC| = r_C - r_B = r_C - 4$$

**Układ równań**

Ponieważ punkt \(C\) leży na odcinku \(AB\), to:

$$|AC| + |BC| = |AB| = 9$$

Podstawiamy warunki styczności:

$$(r_C - 6) + (r_C - 4) = 9$$

**Rozwiązanie**

$$r_C - 6 + r_C - 4 = 9$$

$$2r_C - 10 = 9$$

$$2r_C = 19$$

$$r_C = 9{,}5$$

**Weryfikacja:** 
- \(|AC| = 9{,}5 - 6 = 3{,}5\)
- \(|BC| = 9{,}5 - 4 = 5{,}5\)
- \(|AC| + |BC| = 3{,}5 + 5{,}5 = 9\) ✓
- \(r_C = 9{,}5 > 6\) ✓

**Odpowiedź: D**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/74)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F74)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_