# Matematyka — zadanie 76

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/76
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Planimetria

## Treść

Dane są dwa okręgi styczne wewnętrznie: okrąg \(O_1\) o środku \(S\) i promieniu równym \(6\) oraz okrąg \(O_2\) o środku \(T\) i promieniu długości \(2\). Z punktu \(S\) poprowadzono półproste styczne do okręgu \(O_2\) w punktach \(K\) i \(L\). Oblicz pole czworokąta \(SKTL\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-76.png]

Oznaczmy promienie okręgów: $$r_1 = 6, \quad r_2 = 2$$

## Krok 2: Odległość między środkami okręgów

Okręgi są styczne wewnętrznie, więc mniejszy okrąg znajduje się wewnątrz większego. Odległość między środkami wynosi:
$$|ST| = r_1 - r_2 = 6 - 2 = 4$$

## Krok 3: Analiza stycznych

Półproste \(SK\) i \(SL\) są styczne do okręgu \(O_2\), gdzie \(K\) i \(L\) to punkty styczności.

Ponieważ promień okręgu jest prostopadły do stycznej w punkcie styczności:
$$TK \perp SK \quad \text{oraz} \quad TL \perp SL$$

## Krok 4: Obliczenie długości stycznej

W trójkącie prostokątnym \(STK\) (kąt prosty przy \(K\)):
- \(|ST| = 4\) (przeciwprostokątna)
- \(|TK| = 2\) (przyprostokątna - promień)
- \(|SK| = ?\) (przyprostokątna - szukana długość)

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$|SK|^2 + |TK|^2 = |ST|^2$$
$$|SK|^2 + 4 = 16$$
$$|SK|^2 = 12$$
$$|SK| = 2\sqrt{3}$$

Analogicznie: \(|SL| = 2\sqrt{3}\)

## Krok 5: Pole czworokąta SKTL

Czworokąt \(SKTL\) składa się z dwóch przystających trójkątów prostokątnych: \(STK\) i \(STL\).

Pole trójkąta \(STK\):
$$P_{STK} = \frac{1}{2} \cdot |SK| \cdot |TK| = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3}$$

Pole czworokąta:
$$P_{SKTL} = 2 \cdot P_{STK} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** Pole czworokąta \(SKTL\) wynosi \(4\sqrt{3}\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(4\sqrt{3}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/76)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F76)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_