# Matematyka — zadanie 77

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/77
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Planimetria

## Treść

Pole trójkąta \(ABC\) równe jest \(S\). Każdy bok trójkąta podzielono w stosunku \(x : y : x\), gdzie \(x\) i \(y\) są pewnymi liczbami dodatnimi. Wyznacz pole sześciokąta, którego wierzchołkami są punkty podziałów boków trójkąta (zobacz rysunek).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczymy wierzchołki trójkąta jako \(A\), \(B\), \(C\), a punkty podziału boków jako:
- na boku \(AB\): punkty \(D\) i \(E\)
- na boku \(BC\): punkty \(F\) i \(G\)
- na boku \(CA\): punkty \(H\) i \(I\)

**Krok 1: Interpretacja podziału**

Każdy bok dzielimy w stosunku \(x : y : x\), co oznacza:
- od wierzchołka odległość \(x\)
- następnie odcinek długości \(y\)
- na końcu odległość \(x\) do następnego wierzchołka

Suma: \(x + y + x = 2x + y\)

**Krok 2: Współrzędne barycentryczne**

Dla boku \(AB\):
- punkt \(D\) dzieli \(AB\) tak, że \(|AD| : |DB| = x : (y+x)\)
- punkt \(E\) dzieli \(AB\) tak, że \(|AE| : |EB| = (x+y) : x\)

**Krok 3: Pole narożnych trójkątów**

Sześciokąt powstaje po "odcięciu" trzech narożnych trójkątów od trójkąta \(ABC\).

Rozważmy trójkąt przy wierzchołku \(A\) o wierzchołkach \(A\), \(D\) (na \(AB\)), \(I\) (na \(CA\)).

Punkt \(D\): \(\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{x}{2x+y}\)

Punkt \(I\): \(\frac{|AI|}{|AC|} = \frac{x}{2x+y}\)

**Krok 4: Wzór na pole trójkąta narożnego**

Pole trójkąta \(ADI\) w stosunku do pola trójkąta \(ABC\):

$$\frac{P_{ADI}}{P_{ABC}} = \frac{|AD|}{|AB|} \cdot \frac{|AI|}{|AC|} \cdot \sin(\angle DAI) \cdot \frac{1}{\sin(\angle BAC)}$$

Ponieważ \(\angle DAI = \angle BAC\), otrzymujemy:

$$\frac{P_{ADI}}{S} = \frac{|AD|}{|AB|} \cdot \frac{|AI|}{|AC|} = \frac{x}{2x+y} \cdot \frac{x}{2x+y} = \left(\frac{x}{2x+y}\right)^2$$

Zatem:
$$P_{ADI} = S \cdot \left(\frac{x}{2x+y}\right)^2$$

**Krok 5: Suma pól trzech narożnych trójkątów**

Z symetrii podziału każdy z trzech narożnych trójkątów (przy wierzchołkach \(A\), \(B\), \(C\)) ma takie samo pole:

$$P_{\text{3 trójkąty}} = 3 \cdot S \cdot \left(\frac{x}{2x+y}\right)^2 = 3S\left(\frac{x}{2x+y}\right)^2$$

**Krok 6: Pole sześciokąta**

Pole sześciokąta otrzymujemy odejmując od pola całego trójkąta sumę pól trzech narożnych trójkątów:

$$P_{\text{sześciokąt}} = S - 3S\left(\frac{x}{2x+y}\right)^2$$

$$P_{\text{sześciokąt}} = S\left(1 - 3\left(\frac{x}{2x+y}\right)^2\right)$$

**Odpowiedź:** Pole sześciokąta wynosi \(S\left(1 - 3\left(\frac{x}{2x+y}\right)^2\right)\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(S\left (1-3\left (\frac{x}{2x+y}\right )^2\right )\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/77)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F77)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_