# Matematyka — zadanie 78

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/78
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Planimetria

## Treść

Odcinki \(AD\) i \(BE\) przecinają się w punkcie \(C\). W trójkątach \(ABC\) i \(CDE\) zachodzą związki: \(|\sphericalangle CAB|=|\sphericalangle CED|\), \(|AC|=5\), \(|BC|=3\), \(|CE|=10\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty \(ABC\) i \(CDE\) są podobne. Oblicz długość boku \(CD\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Rozwiązujemy krok po kroku.

## Krok 1: Analiza danych

Mamy dane:
- \(|AC| = 5\)
- \(|BC| = 3\)
- \(|CE| = 10\)
- \(|\angle CAB| = |\angle CED|\)

## Krok 2: Wykazanie podobieństwa trójkątów

Zauważmy, że kąty wierzchołkowe przy punkcie \(C\) są równe:

$$|\angle ACB| = |\angle DCE|$$

(jako kąty wierzchołkowe)

Mamy więc:
- \(|\angle CAB| = |\angle CED|\) (z treści zadania)
- \(|\angle ACB| = |\angle DCE|\) (kąty wierzchołkowe)

Na podstawie cechy kąt-kąt (kk) trójkąty \(ABC\) i \(CDE\) są podobne:

$$\triangle ABC \sim \triangle CDE$$

## Krok 3: Ustalenie odpowiedniości wierzchołków

Z podobieństwa \(\triangle ABC \sim \triangle CDE\) wynika odpowiedniość:
- \(A \leftrightarrow C\)
- \(B \leftrightarrow D\)
- \(C \leftrightarrow E\)

## Krok 4: Wyznaczenie skali podobieństwa

Z podobieństwa trójkątów mamy proporcję odpowiadających sobie boków:

$$\frac{|AC|}{|CE|} = \frac{|BC|}{|CD|} = \frac{|AB|}{|DE|}$$

Podstawiamy znane wartości:

$$\frac{5}{10} = \frac{3}{|CD|}$$

$$\frac{1}{2} = \frac{3}{|CD|}$$

## Krok 5: Obliczenie długości \(CD\)

Z proporcji:

$$|CD| = 3 \cdot 2 = 6$$

## Sprawdzenie

Skala podobieństwa wynosi \(k = \frac{|CE|}{|AC|} = \frac{10}{5} = 2\).

Rzeczywiście: \(|CD| = k \cdot |BC| = 2 \cdot 3 = 6\) ✓

**Odpowiedź: Długość boku \(CD\) wynosi \(6\).**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(6\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/78)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F78)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_