# Matematyka — zadanie 79

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/79
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Planimetria

## Treść

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym przyprostokątna \(AC\) ma długość \(12\). Punkt \(E\) jest środkiem przeciwprostokątnej \(AB\), spodek \(D\) wysokości \(CD\) leży między punktami \(A\) i \(E\), a odległość między punktami \(D\) i \(E\) jest równa \(1\) (zobacz rysunek). Oblicz obwód tego trójkąta.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy długości boków trójkąta prostokątnego \(ABC\):
- \(AC = 12\) (dana przyprostokątna)
- \(BC = a\) (druga przyprostokątna)
- \(AB = c\) (przeciwprostokątna)

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$c^2 = 144 + a^2$$

## Krok 1: Punkt \(E\) jako środek przeciwprostokątnej

Punkt \(E\) jest środkiem \(AB\), więc \(AE = EB = \frac{c}{2}\).

**Własność**: W trójkącie prostokątnym środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego, więc:
$$CE = \frac{c}{2}$$

## Krok 2: Wysokość \(CD\)

Wysokość opuszczona z kąta prostego na przeciwprostokątną ma długość:
$$CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{12a}{c}$$

## Krok 3: Położenie punktu \(D\)

Punkt \(D\) dzieli przeciwprostokątną \(AB\). Z własności wysokości:
$$AD = \frac{AC^2}{AB} = \frac{144}{c}$$

## Krok 4: Warunek \(DE = 1\)

Punkt \(D\) leży między \(A\) i \(E\), więc:
$$DE = AE - AD = \frac{c}{2} - \frac{144}{c} = 1$$

Mnożymy obie strony przez \(2c\):
$$c^2 - 288 = 2c$$
$$c^2 - 2c - 288 = 0$$

## Krok 5: Rozwiązanie równania kwadratowego

$$c = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 1152}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{1156}}{2} = \frac{2 \pm 34}{2}$$

Ponieważ \(c > 0\):
$$c = \frac{36}{2} = 18$$

## Krok 6: Obliczenie długości \(a\)

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$18^2 = 144 + a^2$$
$$324 = 144 + a^2$$
$$a^2 = 180$$
$$a = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$$

## Krok 7: Weryfikacja

Sprawdzamy czy \(D\) leży między \(A\) i \(E\):
- \(AD = \frac{144}{18} = 8\)
- \(AE = \frac{18}{2} = 9\)
- \(DE = 9 - 8 = 1\) ✓

Ponieważ \(8 < 9\), punkt \(D\) rzeczywiście leży między \(A\) i \(E\).

## Obliczenie obwodu

$$\text{Obwód} = AC + BC + AB = 12 + 6\sqrt{5} + 18 = 30 + 6\sqrt{5}$$

**Odpowiedź: \(30 + 6\sqrt{5}\)**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(30+6\sqrt{5}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/79)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F79)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_