# Matematyka — zadanie 80

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/80
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Planimetria

## Treść

Na rysunku przedstawiono trapez \(ABCD\) oraz zaznaczono wysokości \(DE\) i \(CF\) tego trapezu. Punkt \(F\) jest środkiem podstawy \(AB\), a punkt \(E\) dzieli tę podstawę w stosunku \(2:5\). Wykaż, że punkt przecięcia wysokości \(CF\) z przekątną \(DB\) dzieli tę przekątną w stosunku \(3:7\), licząc od wierzchołka \(D\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Wprowadza się układ współrzędnych z początkiem w punkcie \(A\), osią \(x\) wzdłuż podstawy \(AB\).

## Ustalenie współrzędnych punktów

Niech \(|AB| = a\). Ponieważ \(F\) jest środkiem \(AB\):
$$F = \left(\frac{a}{2}, 0\right)$$

Punkt \(E\) dzieli \(AB\) w stosunku \(2:5\), więc:
$$|AE| : |EB| = 2:5$$
$$|AE| = \frac{2}{7}a, \quad E = \left(\frac{2a}{7}, 0\right)$$

Wysokości \(DE\) i \(CF\) są prostopadłe do \(AB\), więc są pionowe:
- \(D\) leży nad \(E\): \(D = \left(\frac{2a}{7}, h\right)\) dla pewnej wysokości \(h > 0\)
- \(C\) leży nad \(F\): \(C = \left(\frac{a}{2}, h\right)\)

Punkt \(B\) ma współrzędne: \(B = (a, 0)\)

## Weryfikacja, że ABCD jest trapezem

Podstawy trapezu to \(AB\) i \(DC\).

Wektor \(\overrightarrow{DC}\):
$$\overrightarrow{DC} = C - D = \left(\frac{a}{2} - \frac{2a}{7}, 0\right) = \left(\frac{3a}{14}, 0\right)$$

Wektor \(\overrightarrow{AB}\):
$$\overrightarrow{AB} = (a, 0)$$

Wektory są równoległe (oba poziome), więc \(DC \parallel AB\). ✓

## Równanie przekątnej DB

Przekątna \(DB\) łączy punkty \(D = \left(\frac{2a}{7}, h\right)\) i \(B = (a, 0)\).

Parametryzacja odcinka \(DB\):
$$P(t) = D + t(B - D) = \left(\frac{2a}{7}, h\right) + t\left(\frac{5a}{7}, -h\right)$$
$$P(t) = \left(\frac{2a}{7} + \frac{5at}{7}, h(1-t)\right), \quad t \in [0,1]$$

## Równanie wysokości CF

Wysokość \(CF\) to pionowa prosta przez \(F\):
$$x = \frac{a}{2}$$

## Punkt przecięcia K

Punkt \(K\) przecięcia \(CF\) z \(DB\) spełnia:
$$\frac{2a}{7} + \frac{5at}{7} = \frac{a}{2}$$

$$\frac{2 + 5t}{7} = \frac{1}{2}$$

$$2(2 + 5t) = 7$$

$$4 + 10t = 7$$

$$t = \frac{3}{10}$$

## Stosunek podziału

Dla \(t = \frac{3}{10}\) punkt \(K\) dzieli odcinek \(DB\):
$$|DK| : |KB| = t : (1-t) = \frac{3}{10} : \frac{7}{10} = 3:7$$

## Wniosek

Punkt przecięcia wysokości \(CF\) z przekątną \(DB\) dzieli tę przekątną w stosunku \(3:7\), licząc od wierzchołka \(D\). ∎

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Wykazano, że punkt dzieli przekątną w stosunku \(3:7\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/80)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F80)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_