# Matematyka — zadanie 81

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/81
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Planimetria

## Treść

W trójkącie \(ABC\) o bokach długości \(|AC|=b\), \(|BC|=a\) i kącie między nimi \(60^\circ \) poprowadzono dwusieczną kąta \(ACB\), która przecięła bok \(AB\) w punkcie \(D\). Zapisz długość odcinka \(CD\) w zależności od \(a\) i \(b\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-81.png]

Oznaczmy długość dwusiecznej \(|CD| = d\).

**Krok 2: Wzór na długość dwusiecznej**

Dla dwusiecznej kąta \(\gamma\) w trójkącie o bokach \(a\), \(b\) (tworzących ten kąt) oraz długości dwusiecznej \(d\), obowiązuje wzór:

$$d = \frac{2ab \cos(\gamma/2)}{a+b}$$

W naszym przypadku: \(\gamma = \angle ACB = 60°\), więc \(\gamma/2 = 30°\).

**Krok 3: Podstawienie danych**

Podstawiamy do wzoru:

$$d = \frac{2ab \cos(30°)}{a+b}$$

**Krok 4: Obliczenie \(\cos(30°)\)**

Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych:

$$\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

**Krok 5: Obliczenie długości dwusiecznej**

$$d = \frac{2ab \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{a+b}$$

$$d = \frac{ab\sqrt{3}}{a+b}$$

**Odpowiedź:**

$$|CD| = \frac{\sqrt{3}ab}{a+b}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{3}ab}{a+b}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/81)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F81)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_