# Matematyka — zadanie 83

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/83
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na kwadracie, którego jeden z boków jest zawarty w prostej o równaniu \(y=2x-2\), a punkt \(A=(1,5)\) jest jego wierzchołkiem. Rozważ wszystkie przypadki.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sprawdzenie położenia punktu \(A\).

Po podstawieniu \(x=1\) do równania prostej:

$$2\cdot 1-2=0\neq 5$$

Punkt \(A\) nie leży na tej prostej, więc jest jednym z dwóch wierzchołków kwadratu leżących poza bokiem zawartym w prostej.

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.

Bok kwadratu jest równy odległości punktu \(A\) od prostej \(2x-y-2=0\):

$$a=\frac{|2\cdot 1-5-2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$$

Krok 3. Wyznaczenie sąsiedniego wierzchołka na prostej.

Rzut prostokątny punktu \(A\) na prostą leży na prostej prostopadłej do niej, przechodzącej przez \(A\). Prosta prostopadła ma współczynnik kierunkowy \(-\frac{1}{2}\):

$$y=-\frac{1}{2}(x-1)+5=-\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}$$

Po przyrównaniu do równania danej prostej:

$$2x-2=-\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}$$

$$\frac{5}{2}x=\frac{15}{2}\quad\Rightarrow\quad x=3,\quad y=4$$

Rzutem jest punkt \(P=(3,4)\), a jego odległość od \(A\) wynosi \(\sqrt{5}\), czyli dokładnie tyle, ile bok kwadratu. Odcinek \(AP\) jest więc bokiem, a \(P\) sąsiednim wierzchołkiem.

Krok 4. Wyznaczenie drugiego wierzchołka na prostej.

Wektor o długości \(\sqrt{5}\) równoległy do prostej to \(\vec{u}=[1,2]\). Drugi wierzchołek leżący na prostej powstaje przez odłożenie tego wektora od punktu \(P\) w jedną albo w drugą stronę, co daje dwa przypadki.

Krok 5. Przypadek pierwszy.

$$Q=P+\vec{u}=(3+1,\ 4+2)=(4,6)$$

Środek okręgu opisanego na kwadracie leży w środku przekątnej \(AQ\):

$$S_1=\left(\frac{1+4}{2},\ \frac{5+6}{2}\right)=\left(\frac{5}{2},\ \frac{11}{2}\right)$$

Krok 6. Przypadek drugi.

$$Q'=P-\vec{u}=(3-1,\ 4-2)=(2,2)$$

$$S_2=\left(\frac{1+2}{2},\ \frac{5+2}{2}\right)=\left(\frac{3}{2},\ \frac{7}{2}\right)$$

**Odpowiedź:** \(\left(\frac{3}{2},\ \frac{7}{2}\right)\) lub \(\left(\frac{5}{2},\ \frac{11}{2}\right)\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\left ( \frac{3}{2}, \frac{7}{2} \right )\) lub \(\left ( \frac{5}{2}, \frac{11}{2} \right )\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/83)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F83)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_