# Matematyka — zadanie 84

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/84
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Dwa boki trójkąta prostokątnego \(ABC\) są zawarte w prostych o równaniach \(y = 2x − 3\) oraz \(y=\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}\). Wyznacz równanie prostej, która przechodzi przez punkt \(K=(4,-2)\) i zawiera trzeci bok trójkąta \(ABC\). Rozważ wszystkie możliwości.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-84.png]

## Analiza danych

Mamy dwa boki trójkąta prostokątnego zawarte w prostych:
- \(l_1: y = 2x - 3\) (współczynnik kierunkowy \(a_1 = 2\))
- \(l_2: y = \frac{1}{4}x - \frac{5}{4}\) (współczynnik kierunkowy \(a_2 = \frac{1}{4}\))

## Sprawdzenie prostopadłości

Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \(-1\):

$$a_1 \cdot a_2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \neq -1$$

Zatem proste \(l_1\) i \(l_2\) **nie są prostopadłe**.

## Możliwe konfiguracje

Skoro kąt prosty nie jest między danymi bokami, trzeci bok musi być prostopadły do jednego z nich. Mamy dwie możliwości:

### **Przypadek 1:** Trzeci bok prostopadły do \(l_1\)

Prosta prostopadła do \(l_1\) (o współczynniku \(a_1 = 2\)) ma współczynnik kierunkowy:

$$a_3 = -\frac{1}{a_1} = -\frac{1}{2}$$

Równanie prostej przechodzącej przez \(K = (4, -2)\) o współczynniku \(-\frac{1}{2}\):

$$y - (-2) = -\frac{1}{2}(x - 4)$$

$$y + 2 = -\frac{1}{2}x + 2$$

$$y = -\frac{1}{2}x$$

**Weryfikacja:** Czy ta prosta może tworzyć trójkąt z \(l_1\) i \(l_2\)?
- Musi przecinać obie proste \(l_1\) i \(l_2\) w różnych punktach
- Sprawdzamy, że \(y = -\frac{1}{2}x\) nie jest równoległa do \(l_2\) (współczynniki \(-\frac{1}{2} \neq \frac{1}{4}\)) ✓

### **Przypadek 2:** Trzeci bok prostopadły do \(l_2\)

Prosta prostopadła do \(l_2\) (o współczynniku \(a_2 = \frac{1}{4}\)) ma współczynnik kierunkowy:

$$a_3 = -\frac{1}{a_2} = -\frac{1}{\frac{1}{4}} = -4$$

Równanie prostej przechodzącej przez \(K = (4, -2)\) o współczynniku \(-4\):

$$y - (-2) = -4(x - 4)$$

$$y + 2 = -4x + 16$$

$$y = -4x + 14$$

**Weryfikacja:** Czy ta prosta może tworzyć trójkąt z \(l_1\) i \(l_2\)?
- Sprawdzamy, że \(y = -4x + 14\) nie jest równoległa do \(l_1\) (współczynniki \(-4 \neq 2\)) ✓

## Odpowiedź

Istnieją dwa równania prostych zawierających trzeci bok trójkąta \(ABC\):

$$\boxed{y = -\frac{1}{2}x}$$

oraz

$$\boxed{y = -4x + 14}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(y=-\frac{1}{2}x\) lub \(y=-4x+14\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/84)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F84)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_