# Matematyka — zadanie 85

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/85
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Funkcja liniowa

## Treść

Różnica współczynników kierunkowych dwóch prostych jest równa różnicy odwrotności tych współczynników. Uzasadnij, że te proste są prostopadłe albo równoległe.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy współczynniki kierunkowe dwóch prostych jako \(a\) i \(b\).

Zapisujemy warunek z treści zadania:
$$a - b = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$$

**Krok 1: Przekształcenie prawej strony**

Sprowadzamy prawo stronę do wspólnego mianownika:
$$a - b = \frac{b - a}{ab}$$

**Krok 2: Wyłączenie czynnika**

Zauważamy, że \(b - a = -(a - b)\):
$$a - b = \frac{-(a - b)}{ab}$$

**Krok 3: Przeniesiemy wszystko na lewą stronę**

$$a - b + \frac{a - b}{ab} = 0$$

Wyłączamy wspólny czynnik \((a - b)\):
$$(a - b)\left(1 + \frac{1}{ab}\right) = 0$$

Możemy też zapisać:
$$(a - b) \cdot \frac{ab + 1}{ab} = 0$$

**Krok 4: Analiza iloczynu**

Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest zerem.

**Przypadek 1:** \(a - b = 0\)

Wtedy \(a = b\), co oznacza, że **proste są równoległe** (mają takie same współczynniki kierunkowe).

**Przypadek 2:** \(\frac{ab + 1}{ab} = 0\)

To zachodzi, gdy \(ab + 1 = 0\), czyli:
$$ab = -1$$

Warunek \(ab = -1\) to warunek prostopadłości dwóch prostych o współczynnikach kierunkowych \(a\) i \(b\).

Zatem **proste są prostopadłe**.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Wykazano, że proste są prostopadłe albo równoległe

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/85)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F85)

## Podobne zadania

- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2011/zad/34) — Piramida ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wysokość jest równa \(6\), a długość krawędzi bocznej jest równa \(2\sqrt{15}\). Oblicz miarę
- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2018/zad/33) — Ze zbioru \(A = \{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}\) losujemy liczbę \(a\), natomiast ze zbioru \(B = \{-1, 0, 1, 2\}\) losujemy liczbę \(b\). Te liczby są - odpowiednio -
- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22) — Zadanie 22. (0-2) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= 5𝑥+ 7. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przecina oś 𝑂𝑦 w
- [Zadanie 12.2](https://matura.lol/question/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/12.2) — Zadanie 12.2. (0-2) Oblicz wartość współczynnika 𝒂 oraz wartość współczynnika 𝒃. Zapisz obliczenia. 12.2. 0-2 MMAP-P0_100 Oblicz wartość współczynnika a oraz wa

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_