# Matematyka — zadanie 86

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/86
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Punkty \(A\) i \(B\), których pierwsze współrzędne są równe odpowiednio \(−2\) i \(2\), należą do wykresu funkcji \(f(x)=-\frac{8}{x}+3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), wiedząc, że punkt \(B\) jest środkiem odcinka \(AC\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Wyznacza się współrzędne punktów \(A\) i \(B\), a następnie wykorzystuje wzór na środek odcinka.

## Krok 1: Znajdowanie współrzędnych punktu \(A\)

Punkt \(A\) ma pierwszą współrzędną równą \(-2\), więc \(A = (-2, y_A)\).

Ponieważ \(A\) należy do wykresu funkcji \(f(x) = -\frac{8}{x} + 3\):

$$y_A = f(-2) = -\frac{8}{-2} + 3 = 4 + 3 = 7$$

Zatem \(A = (-2, 7)\).

## Krok 2: Znajdowanie współrzędnych punktu \(B\)

Punkt \(B\) ma pierwszą współrzędną równą \(2\), więc \(B = (2, y_B)\).

Ponieważ \(B\) należy do wykresu funkcji \(f(x) = -\frac{8}{x} + 3\):

$$y_B = f(2) = -\frac{8}{2} + 3 = -4 + 3 = -1$$

Zatem \(B = (2, -1)\).

## Krok 3: Wykorzystanie warunku środka odcinka

Punkt \(B\) jest środkiem odcinka \(AC\), gdzie \(C = (x_C, y_C)\).

Ze wzoru na środek odcinka:

$$B = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right)$$

Podstawiając znane wartości:

$$\left(2, -1\right) = \left(\frac{-2 + x_C}{2}, \frac{7 + y_C}{2}\right)$$

## Krok 4: Obliczanie \(x_C\)

Z równości pierwszych współrzędnych:

$$2 = \frac{-2 + x_C}{2}$$

Mnoży się obie strony przez 2:

$$4 = -2 + x_C$$

$$x_C = 6$$

## Krok 5: Obliczanie \(y_C\)

Z równości drugich współrzędnych:

$$-1 = \frac{7 + y_C}{2}$$

Mnoży się obie strony przez 2:

$$-2 = 7 + y_C$$

$$y_C = -9$$

## Odpowiedź

Współrzędne punktu \(C\) to \(\boxed{C = (6, -9)}\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(C=(6,-9)\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/86)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F86)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_