# Matematyka — zadanie 87

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/87
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Prosta \(l\) przecina okrąg o środku \(S\) w punktach \(A=\left(1-\sqrt{2},-\frac{1}{8}\right)\) i \(B=\left(1+\sqrt{2},-\frac{3}{8}\right)\). Punkt \(S\) leży na prostej \(l\). Sprawdź, czy punkt \(S\) leży na prostej \(k\) o równaniu \(x − 4 y = 0\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-87.png]

Trzeba znaleźć środek okręgu \(S\), wiedząc że:
- Prosta \(l\) przecina okrąg w punktach \(A\) i \(B\)
- Punkt \(S\) leży na prostej \(l\)

## Krok 2: Znajdźmy równanie prostej \(l\)

Prosta przechodzi przez punkty \(A=(1-\sqrt{2}, -\frac{1}{8})\) i \(B=(1+\sqrt{2}, -\frac{3}{8})\).

Współczynnik kierunkowy:
$$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-\frac{3}{8} - (-\frac{1}{8})}{(1+\sqrt{2}) - (1-\sqrt{2})} = \frac{-\frac{2}{8}}{2\sqrt{2}} = \frac{-\frac{1}{4}}{2\sqrt{2}} = \frac{-1}{8\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{16}$$

Równanie prostej \(l\) przez punkt \(A\):
$$y - (-\frac{1}{8}) = \frac{-\sqrt{2}}{16}(x - (1-\sqrt{2}))$$

## Krok 3: Wyznaczmy środek \(S\) okręgu

Środek okręgu \(S\) jest równoodległy od punktów \(A\) i \(B\), więc leży na symetralnej odcinka \(AB\).

Środek odcinka \(AB\):
$$M = \left(\frac{(1-\sqrt{2})+(1+\sqrt{2})}{2}, \frac{-\frac{1}{8}+(-\frac{3}{8})}{2}\right) = \left(1, -\frac{1}{4}\right)$$

Ponieważ \(S\) leży na prostej \(l\) przechodzącej przez \(A\) i \(B\), oraz \(S\) jest środkiem okręgu (równoodległy od \(A\) i \(B\)), to \(S\) musi być środkiem cięciwy \(AB\).

Warunek: Jeśli środek okręgu leży na cięciwie, to ta cięciwa musi być średnicą.

Sprawdzenie: Punkt \(S\) jako środek okręgu leży na prostej \(l\) tylko wtedy, gdy \(AB\) jest średnicą, więc:
$$S = M = \left(1, -\frac{1}{4}\right)$$

## Krok 4: Sprawdźmy, czy \(S\) leży na prostej \(k: x - 4y = 0\)

Podstawiamy współrzędne punktu \(S = (1, -\frac{1}{4})\) do równania prostej \(k\):
$$x - 4y = 1 - 4 \cdot (-\frac{1}{4}) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$$

Ponieważ \(2 \neq 0\), punkt \(S\) **nie leży** na prostej \(k\).

**Odpowiedź: NIE**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** nie

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/87)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F87)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_