# Matematyka — zadanie 88

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/88
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Dany jest sześciokąt foremny \(ABCDEF\), którego środkiem symetrii jest punkt \(O=(3,-\sqrt{3})\), a wierzchołek \(A\) ma współrzędne \(A=(1,-3\sqrt{3})\). Wiadomo, że punkt \(P=(4,-2\sqrt{3})\) jest środkiem odcinka \(BO\). Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków tego sześciokąta.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-88.png]

## Krok 2: Znajdź współrzędne wierzchołka B

Jeśli punkt \(P=(4,-2\sqrt{3})\) jest środkiem odcinka \(BO\), to:

$$P = \frac{B + O}{2}$$

Podstawiając dane \(O=(3,-\sqrt{3})\) i \(P=(4,-2\sqrt{3})\):

$$(4,-2\sqrt{3}) = \frac{B + (3,-\sqrt{3})}{2}$$

Mnożąc obie strony przez 2:

$$(8,-4\sqrt{3}) = B + (3,-\sqrt{3})$$

Zatem:

$$B = (8,-4\sqrt{3}) - (3,-\sqrt{3}) = (5,-3\sqrt{3})$$

## Krok 3: Znajdź promień i kąt dla wierzchołka A

Obliczamy odległość \(|OA|\):

$$|OA| = \sqrt{(1-3)^2 + (-3\sqrt{3}-(-\sqrt{3}))^2} = \sqrt{4 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$$

Kąt wierzchołka \(A\) względem środka \(O\):

$$\vec{OA} = (1-3, -3\sqrt{3}+\sqrt{3}) = (-2, -2\sqrt{3})$$

$$\alpha_A = \arctan\left(\frac{-2\sqrt{3}}{-2}\right) = \arctan(\sqrt{3})$$

Ponieważ obie współrzędne są ujemne, punkt leży w III ćwiartce:

$$\alpha_A = 180° + 60° = 240°$$

## Krok 4: Sprawdź kąt dla wierzchołka B

$$\vec{OB} = (5-3, -3\sqrt{3}+\sqrt{3}) = (2, -2\sqrt{3})$$

$$|OB| = \sqrt{4 + 12} = 4 \quad \checkmark$$

$$\alpha_B = \arctan\left(\frac{-2\sqrt{3}}{2}\right) = \arctan(-\sqrt{3}) = -60° = 300°$$

Różnica: \(300° - 240° = 60°\), co potwierdza, że \(B\) jest kolejnym wierzchołkiem.

## Krok 5: Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków

W sześciokącie foremnym kolejne wierzchołki są odległe o \(60°\). Wzór na wierzchołek pod kątem \(\alpha\):

$$V = O + 4(\cos\alpha, \sin\alpha) = (3 + 4\cos\alpha, -\sqrt{3} + 4\sin\alpha)$$

**Wierzchołek C** (\(\alpha_C = 360° = 0°\)):
$$C = (3 + 4\cdot 1, -\sqrt{3} + 4\cdot 0) = (7, -\sqrt{3})$$

**Wierzchołek D** (\(\alpha_D = 60°\)):
$$D = (3 + 4\cdot\frac{1}{2}, -\sqrt{3} + 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}) = (3 + 2, -\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) = (5, \sqrt{3})$$

**Wierzchołek E** (\(\alpha_E = 120°\)):
$$E = (3 + 4\cdot(-\frac{1}{2}), -\sqrt{3} + 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}) = (3 - 2, -\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) = (1, \sqrt{3})$$

**Wierzchołek F** (\(\alpha_F = 180°\)):
$$F = (3 + 4\cdot(-1), -\sqrt{3} + 4\cdot 0) = (3 - 4, -\sqrt{3}) = (-1, -\sqrt{3})$$

## Odpowiedź końcowa

$$\boxed{\begin{align}
A &= (1, -3\sqrt{3})\\
B &= (5, -3\sqrt{3})\\
C &= (7, -\sqrt{3})\\
D &= (5, \sqrt{3})\\
E &= (1, \sqrt{3})\\
F &= (-1, -\sqrt{3})
\end{align}}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(A = (1 ; -3\sqrt{3})\)\(B = (5 ; -3\sqrt{3})\)\(C = (7 ; -\sqrt{3})\)\(D = (5 ; \sqrt{3})\)\(E = (1 ; \sqrt{3})\)\(F = (-1 ; -\sqrt{3})\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/88)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F88)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_