# Matematyka — zadanie 89

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/89
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Punkt \(M=(2,1)\) jest środkiem boku \(AB\), a punkt \(N=(8,3)\) to środek boku \(BC\) kwadratu \(ABCD\). Oblicz długość boku kwadratu \(ABCD\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Rozwiązuje się zadanie wykorzystując własności środków boków kwadratu.

**Krok 1: Ustalenie położenia punktów**

Oznaczmy wierzchołki kwadratu: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) (w kolejności).

Dane:
- \(M = (2, 1)\) - środek boku \(AB\)
- \(N = (8, 3)\) - środek boku \(BC\)

**Krok 2: Wyrażenie współrzędnych wierzchołków**

Niech \(A = (x_A, y_A)\), \(B = (x_B, y_B)\), \(C = (x_C, y_C)\).

Ze wzoru na środek odcinka:

$$M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = (2, 1)$$

$$N = \left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) = (8, 3)$$

**Krok 3: Wprowadzenie wektorów**

Niech \(\vec{AB} = (p, q)\) - wektor boku \(AB\).

Wtedy \(B = A + \vec{AB}\), czyli:
$$M = A + \frac{1}{2}\vec{AB} = \left(x_A + \frac{p}{2}, y_A + \frac{q}{2}\right) = (2, 1)$$

W kwadracie bok \(BC\) jest prostopadły do \(AB\) i ma tę samą długość.

Wektor prostopadły do \((p, q)\) to \((-q, p)\), zatem:
$$\vec{BC} = (-q, p)$$

**Krok 4: Wyrażenie punktu N**

$$N = B + \frac{1}{2}\vec{BC} = A + \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC}$$

$$N = A + (p, q) + \frac{1}{2}(-q, p) = A + \left(p - \frac{q}{2}, q + \frac{p}{2}\right)$$

$$N = \left(x_A + p - \frac{q}{2}, y_A + q + \frac{p}{2}\right) = (8, 3)$$

**Krok 5: Układ równań**

Z punktu \(M\):
- \(x_A + \frac{p}{2} = 2\) → \(x_A = 2 - \frac{p}{2}\)
- \(y_A + \frac{q}{2} = 1\) → \(y_A = 1 - \frac{q}{2}\)

Z punktu \(N\):
- \(x_A + p - \frac{q}{2} = 8\)
- \(y_A + q + \frac{p}{2} = 3\)

**Krok 6: Podstawienie i rozwiązanie**

Podstawia się \(x_A = 2 - \frac{p}{2}\) do pierwszego równania z \(N\):

$$2 - \frac{p}{2} + p - \frac{q}{2} = 8$$

$$2 + \frac{p}{2} - \frac{q}{2} = 8$$

$$p - q = 12 \quad \text{...(1)}$$

Podstawia się \(y_A = 1 - \frac{q}{2}\) do drugiego równania z \(N\):

$$1 - \frac{q}{2} + q + \frac{p}{2} = 3$$

$$1 + \frac{q}{2} + \frac{p}{2} = 3$$

$$p + q = 4 \quad \text{...(2)}$$

**Krok 7: Rozwiązanie układu**

Dodaje się równania (1) i (2):
$$2p = 16 \implies p = 8$$

Z równania (2):
$$q = 4 - 8 = -4$$

**Krok 8: Obliczenie długości boku**

Długość boku kwadratu to długość wektora \(\vec{AB} = (8, -4)\):

$$|\vec{AB}| = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$$

**Odpowiedź:** Długość boku kwadratu wynosi \(4\sqrt{5}\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(4\sqrt{5}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/89)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F89)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_