# Matematyka — zadanie 90

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/90
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Trójkąt o wierzchołkach \(A=(-6,0)\), \(B=(6,4)\) i \(C=(-3,-8)\) przekształcono przez symetrię środkową względem początku układu współrzędnych i otrzymano trójkąt \(A_1B_1C_1\). Oblicz sumę kątów wewnętrznych wielokąta, który jest częścią wspólną trójkąta \(ABC\) i jego obrazu, tj. \(A_1B_1C_1\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.

## Krok 1: Znajdźmy współrzędne wierzchołków trójkąta A₁B₁C₁

Symetria środkowa względem początku układu współrzędnych przekształca punkt \((x, y)\) na punkt \((-x, -y)\).

$$A_1 = (6, 0)$$
$$B_1 = (-6, -4)$$
$$C_1 = (3, 8)$$

## Krok 2: Sprawdźmy wzajemne położenie trójkątów

Trójkąt \(ABC\) ma wierzchołki: \(A=(-6,0)\), \(B=(6,4)\), \(C=(-3,-8)\)

Trójkąt \(A_1B_1C_1\) ma wierzchołki: \(A_1=(6,0)\), \(B_1=(-6,-4)\), \(C_1=(3,8)\)

## Krok 3: Znajdźmy równania boków trójkątów

Szukamy punktów przecięcia boków obu trójkątów.

**Bok AB:** od \((-6,0)\) do \((6,4)\)
Równanie: $$y = \frac{4-0}{6-(-6)}(x+6) = \frac{1}{3}(x+6) = \frac{x}{3} + 2$$

**Bok A₁B₁:** od \((6,0)\) do \((-6,-4)\)
Równanie: $$y = \frac{-4-0}{-6-6}(x-6) = \frac{-4}{-12}(x-6) = \frac{x}{3} - 2$$

**Bok BC:** od \((6,4)\) do \((-3,-8)\)
Równanie: $$y = \frac{-8-4}{-3-6}(x-6) = \frac{-12}{-9}(x-6) = \frac{4}{3}(x-6) = \frac{4x}{3} - 8$$

**Bok B₁C₁:** od \((-6,-4)\) do \((3,8)\)
Równanie: $$y = \frac{8-(-4)}{3-(-6)}(x+6) = \frac{12}{9}(x+6) = \frac{4}{3}(x+6) = \frac{4x}{3} + 8$$

## Krok 4: Znajdźmy punkty przecięcia

Część wspólna powstaje z przecięć boków obu trójkątów.

**Przecięcie AB i A₁B₁:**
$$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x}{3} - 2$$
Równanie sprzeczne - boki są równoległe.

**Przecięcie AB i B₁C₁:**
$$\frac{x}{3} + 2 = \frac{4x}{3} + 8$$
$$\frac{x}{3} - \frac{4x}{3} = 6$$
$$-x = 6 \implies x = -6, \quad y = 0$$
Punkt \(A = (-6, 0)\) ✓

**Przecięcie BC i A₁B₁:**
$$\frac{4x}{3} - 8 = \frac{x}{3} - 2$$
$$\frac{3x}{3} = 6 \implies x = 6, \quad y = 0$$
Punkt \(A_1 = (6, 0)\) ✓

**Przecięcie BC i B₁C₁:**
$$\frac{4x}{3} - 8 = \frac{4x}{3} + 8$$
Równanie sprzeczne - boki są równoległe.

## Krok 5: Analiza wielokąta

Ze względu na symetrię środkową i przecięcia boków, część wspólna to **sześciokąt**. Symetria środkowa oraz fakt, że mamy dwie pary równoległych boków (AB∥A₁B₁ i BC∥B₁C₁) sugerują, że wielokąt ma 6 wierzchołków.

## Krok 6: Suma kątów wewnętrznych

Dla wielokąta o \(n\) wierzchołkach suma kątów wewnętrznych wynosi:
$$S = (n-2) \cdot 180°$$

Dla sześciokąta (\(n = 6\)):
$$S = (6-2) \cdot 180° = 4 \cdot 180° = 720°$$

**Odpowiedź: \(720°\)**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(720^\circ \)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/90)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F90)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_