# Matematyka — zadanie 91

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/91
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Prosta \(y = 0\) jest osią symetrii figury złożonej z dwóch prostych o równaniach \(y=(p+2)x-q\) i \(y=(q-5)x+2p\). Wyznacz \(p\) i \(q\). Narysuj te proste w układzie współrzędnych.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Analiza warunku symetrii

Prosta \(y = 0\) (oś \(Ox\)) jest osią symetrii figury złożonej z dwóch prostych. Oznacza to, że te proste są symetryczne względem osi \(Ox\).

Dwie proste są symetryczne względem osi \(Ox\), gdy:
- mają przeciwne współczynniki kierunkowe (nachylenia)
- mają przeciwne wyrazy wolne

## Wypisanie warunków

Dla prostych:
- \(y_1 = (p+2)x - q\) - współczynnik kierunkowy: \(a_1 = p+2\), wyraz wolny: \(b_1 = -q\)
- \(y_2 = (q-5)x + 2p\) - współczynnik kierunkowy: \(a_2 = q-5\), wyraz wolny: \(b_2 = 2p\)

Warunki symetrii względem osi \(Ox\):

$$a_1 = -a_2$$

$$b_1 = -b_2$$

## Podstawienie do warunków

Z pierwszego warunku:
$$p + 2 = -(q - 5)$$
$$p + 2 = -q + 5$$
$$p + q = 3$$

Z drugiego warunku:
$$-q = -2p$$
$$q = 2p$$

## Rozwiązanie układu równań

Mamy układ:
$$\begin{cases} p + q = 3 \\ q = 2p \end{cases}$$

Podstawiamy drugie równanie do pierwszego:
$$p + 2p = 3$$
$$3p = 3$$
$$p = 1$$

Zatem:
$$q = 2 \cdot 1 = 2$$

## Sprawdzenie

Dla \(p = 1\) i \(q = 2\):
- Prosta 1: \(y = (1+2)x - 2 = 3x - 2\)
- Prosta 2: \(y = (2-5)x + 2 \cdot 1 = -3x + 2\)

Sprawdzenie symetrii:
- Współczynniki kierunkowe: \(3\) i \(-3\) ✓ (przeciwne)
- Wyrazy wolne: \(-2\) i \(2\) ✓ (przeciwne)

## Wykres

```
      y
      |
    2 |-------●-------
      |      /:\      
    1 |     / : \     
      |    /  :  \    
   ---+---/---+---\---+--- x
   -1 |  /    :    \  |
      | /     :     \ |
   -2 |●------:------●
      |       0       
```

Na wykresie:
- **Prosta 1** (niebieska): \(y = 3x - 2\)
  - przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0, -2)\)
  - przecina oś \(Ox\) w punkcie \((\frac{2}{3}, 0)\)
  
- **Prosta 2** (czerwona): \(y = -3x + 2\)
  - przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0, 2)\)
  - przecina oś \(Ox\) w punkcie \((\frac{2}{3}, 0)\)

Obie proste przecinają się na osi \(Ox\) w tym samym punkcie i są symetryczne względem osi \(Ox\).

**Odpowiedź:** \(p = 1\), \(q = 2\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(p=1\), \(q=2\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/91)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F91)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_