# Matematyka — zadanie 93

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/93
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Punkt \(P\) leży wewnątrz trójkąta o wierzchołkach \(A=(6,0)\), \(B=(0,4)\), \(C=(0,0)\). Oznaczmy przez \(P_{AC}\) obraz punktu \(P\) w symetrii osiowej względem prostej \(AC\), a przez \(P_{BC}\) obraz punktu \(P\) w symetrii osiowej względem prostej \(BC\). Uzasadnij, że punkty \(P_{AC}\), \(C\) i \(P_{BC}\) leżą na jednej prostej.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Rozwiązam to zadanie, analizując położenie punktów symetrycznych względem boków trójkąta.

## Analiza sytuacji

Trójkąt ma wierzchołki:
- \(C = (0,0)\) - początek układu współrzędnych
- \(A = (6,0)\) - na osi \(OX\)
- \(B = (0,4)\) - na osi \(OY\)

Boki trójkąta to:
- \(AC\) leży na osi \(OX\)
- \(BC\) leży na osi \(OY\)

## Kluczowa obserwacja

Punkt \(C\) jest wspólnym wierzchołkiem boków \(AC\) i \(BC\), a te boki są prostopadłe (kąt przy \(C\) wynosi \(90°\)).

## Symetria względem \(AC\)

Prosta \(AC\) to oś \(OX\) (równanie: \(y = 0\)).

Dla punktu \(P = (x, y)\), jego obraz w symetrii względem osi \(OX\) to:
$$P_{AC} = (x, -y)$$

## Symetria względem \(BC\)

Prosta \(BC\) to oś \(OY\) (równanie: \(x = 0\)).

Dla punktu \(P = (x, y)\), jego obraz w symetrii względem osi \(OY\) to:
$$P_{BC} = (-x, y)$$

## Sprawdzenie współliniowości

Punkty \(P_{AC}\), \(C\) i \(P_{BC}\) leżą na jednej prostej, jeśli wektory \(\overrightarrow{CP_{AC}}\) i \(\overrightarrow{CP_{BC}}\) są równoległe.

Oblicza się wektory:
$$\overrightarrow{CP_{AC}} = P_{AC} - C = (x, -y) - (0, 0) = (x, -y)$$

$$\overrightarrow{CP_{BC}} = P_{BC} - C = (-x, y) - (0, 0) = (-x, y)$$

## Warunek równoległości

Wektory są równoległe, gdy:
$$\overrightarrow{CP_{BC}} = \lambda \cdot \overrightarrow{CP_{AC}}$$

Sprawdza się:
$$(-x, y) = \lambda(x, -y)$$

Z pierwszej współrzędnej: \(-x = \lambda x\), więc \(\lambda = -1\)

Z drugiej współrzędnej: \(y = \lambda(-y) = -(-y) = y\) ✓

Otrzymujemy \(\lambda = -1\), co oznacza, że:
$$\overrightarrow{CP_{BC}} = -\overrightarrow{CP_{AC}}$$

## Geometryczna interpretacja

Ponieważ \(\overrightarrow{CP_{BC}} = -\overrightarrow{CP_{AC}}\), punkty \(P_{AC}\) i \(P_{BC}\) leżą po przeciwnych stronach punktu \(C\) na tej samej prostej.

**Wniosek:** Punkty \(P_{AC}\), \(C\) i \(P_{BC}\) leżą na jednej prostej dla dowolnego punktu \(P\) wewnątrz trójkąta \(ABC\). Co więcej, punkt \(C\) jest środkiem odcinka \(P_{AC}P_{BC}\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Wykazano, że punkty \(P_{AC}\), \(C\) i \(P_{BC}\) leżą na jednej prostej

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/93)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F93)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_