# Matematyka — zadanie 95

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/95
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Stereometria

## Treść

Podstawą graniastosłupa prostego czworokątnego \(ABCDEFGH\) jest kwadrat \(ABCD\) (zobacz rysunek). Kąt \(AHC\) między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych ma \(50^\circ \). Kąt \(DBG\) między przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej jest równy

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Analizuje się graniastosłup prosty o podstawie kwadratowej.

## Ustalenie układu współrzędnych

Przyjmuje się układ współrzędnych z wierzchołkiem \(A\) w początku:
- \(A = (0, 0, 0)\)
- \(B = (a, 0, 0)\)
- \(C = (a, a, 0)\)
- \(D = (0, a, 0)\)
- \(E = (0, 0, h)\)
- \(F = (a, 0, h)\)
- \(G = (a, a, h)\)
- \(H = (0, a, h)\)

gdzie \(a\) to bok podstawy, \(h\) to wysokość graniastosłupa.

## Znalezienie zależności z kąta \(\angle AHC = 50°\)

Oblicza się wektory:
- \(\vec{HA} = A - H = (0, 0, 0) - (0, a, h) = (0, -a, -h)\)
- \(\vec{HC} = C - H = (a, a, 0) - (0, a, h) = (a, 0, -h)\)

Iloczyn skalarny:
$$\vec{HA} \cdot \vec{HC} = 0 \cdot a + (-a) \cdot 0 + (-h) \cdot (-h) = h^2$$

Długości wektorów:
$$|\vec{HA}| = \sqrt{0^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$$
$$|\vec{HC}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + h^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$$

Ze wzoru na kąt między wektorami:
$$\cos(50°) = \frac{h^2}{a^2 + h^2}$$

## Obliczenie kąta \(\angle DBG\)

Oblicza się wektory:
- \(\vec{BD} = D - B = (0, a, 0) - (a, 0, 0) = (-a, a, 0)\)
- \(\vec{BG} = G - B = (a, a, h) - (a, 0, 0) = (0, a, h)\)

Iloczyn skalarny:
$$\vec{BD} \cdot \vec{BG} = (-a) \cdot 0 + a \cdot a + 0 \cdot h = a^2$$

Długości wektorów:
$$|\vec{BD}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0} = a\sqrt{2}$$
$$|\vec{BG}| = \sqrt{0 + a^2 + h^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$$

Kąt \(\alpha = \angle DBG\):
$$\cos \alpha = \frac{a^2}{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{a^2 + h^2}} = \frac{a}{\sqrt{2(a^2 + h^2)}}$$

## Wyrażenie przez \(\cos(50°)\)

Z wcześniejszego wyniku: \(h^2 = (a^2 + h^2) \cos(50°)\)

Podstawia się do wzoru na \(\cos \alpha\):
$$\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{2(a^2 + h^2)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2 + h^2}}$$

Podnosi się do kwadratu:
$$\cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{a^2 + h^2}$$

Ponieważ \(\frac{h^2}{a^2 + h^2} = \cos(50°)\), to:
$$\frac{a^2}{a^2 + h^2} = 1 - \cos(50°)$$

Zatem:
$$\cos^2 \alpha = \frac{1 - \cos(50°)}{2}$$

Ze wzoru: \(\sin^2(25°) = \frac{1 - \cos(50°)}{2}\)

Więc: \(\cos^2 \alpha = \sin^2(25°)\)

Stąd: \(\cos \alpha = \sin(25°) = \cos(65°)\)

Zatem: \(\alpha = 65°\)

**Odpowiedź: B**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/95)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F95)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_