# Matematyka — zadanie 96

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/96
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Stereometria

## Treść

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\), którego ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Punkty \(G\), \(E\) i \(F\) są odpowiednio środkami odcinków \(AD\), \(BC\) i \(CS\) (zobacz rysunek). Kątem między przeciwległymi ścianami bocznymi jest kąt

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Analizuje się geometrię ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ze ścianami bocznymi będącymi trójkątami równobocznymi.

## Krok 1: Ustalenie notacji i własności ostrosłupa

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS ma:
- Podstawę ABCD - kwadrat
- Wierzchołek S
- Ściany boczne: △ABS, △BCS, △CDS, △DAS - wszystkie równoboczne

Oznaczmy długość krawędzi podstawy jako \(a\). Ponieważ ściany boczne są równoboczne, wszystkie krawędzie boczne również mają długość \(a\).

## Krok 2: Identyfikacja przeciwległych ścian bocznych

Przeciwległe ściany boczne to:
- △ABS i △CDS
- △BCS i △DAS

## Krok 3: Analiza punktów G, E, F

- \(G\) - środek \(AD\) (krawędź podstawy)
- \(E\) - środek \(BC\) (krawędź podstawy)
- \(F\) - środek \(CS\) (krawędź boczna)

## Krok 4: Definicja kąta między płaszczyznami

Kąt między dwiema płaszczyznami mierzymy jako kąt między prostymi prostopadłymi do krawędzi wspólnej (lub równoległej do wspólnej krawędzi), leżącymi w obu płaszczyznach.

Weźmy ściany △BCS i △DAS (przeciwległe).

## Krok 5: Znalezienie odpowiednich prostych

W płaszczyźnie ściany △BCS:
- Punkt \(E\) to środek \(BC\)
- Prosta \(SE\) jest wysokością trójkąta równobocznego △BCS opuszczoną z \(S\) na \(BC\)
- \(SE \perp BC\)

W płaszczyźnie ściany △DAS:
- Punkt \(G\) to środek \(AD\)
- Prosta \(SG\) jest wysokością trójkąta równobocznego △DAS opuszczoną z \(S\) na \(AD\)
- \(SG \perp AD\)

## Krok 6: Kluczowa obserwacja

Ponieważ \(ABCD\) jest kwadratem:
- \(BC \parallel AD\)
- \(E\) to środek \(BC\), \(G\) to środek \(AD\)

Jeśli \(SE \perp BC\) i \(SG \perp AD\), oraz \(BC \parallel AD\), to:
- Obie proste \(SE\) i \(SG\) są prostopadłe do równoległych krawędzi
- Kąt \(\angle ESG\) (lub równoważnie \(\angle GSE\)) jest kątem między płaszczyznami ścian △BCS i △DAS

## Krok 7: Weryfikacja odpowiedzi

Kąt między przeciwległymi ścianami bocznymi to kąt \(\angle ESG\), co zapisujemy jako \(ESG\).

**Odpowiedź: C**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/96)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F96)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_