# Matematyka — zadanie 99

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/99
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Stereometria

## Treść

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krótsza przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\beta \) takim, że \(\sin \beta =\frac{2}{\sqrt{7}}\). Oblicz miarę kąta \(\alpha \), jaki tworzy dłuższa przekątna tej bryły z płaszczyzną podstawy.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-99.png]

Oznaczmy bok podstawy graniastosłupa przez \(a\), a wysokość graniastosłupa przez \(H\).

## Krok 2: Analiza podstawy

Podstawą jest sześciokąt foremny o boku \(a\). W sześciokącie foremnym wyróżniamy:
- **krótsza przekątna** łączy wierzchołki odległe o 2 boki (przeskakuje jeden wierzchołek)
- **dłuższa przekątna** łączy wierzchołki przeciwległe (przeskakuje dwa wierzchołki)

## Krok 3: Długości przekątnych podstawy

Dla sześciokąta foremnego o boku \(a\):
- krótsza przekątna: \(d_k = a\sqrt{3}\)
- dłuższa przekątna: \(d_d = 2a\)

## Krok 4: Przekątne graniastosłupa

**Krótsza przekątna graniastosłupa** łączy wierzchołki dolnej i górnej podstawy, które są połączone krótszą przekątną podstawy. Jej długość:
$$D_k = \sqrt{d_k^2 + H^2} = \sqrt{3a^2 + H^2}$$

**Dłuższa przekątna graniastosłupa** łączy wierzchołki dolnej i górnej podstawy, które są połączone dłuższą przekątną podstawy. Jej długość:
$$D_d = \sqrt{d_d^2 + H^2} = \sqrt{4a^2 + H^2}$$

## Krok 5: Kąt nachylenia krótszej przekątnej

Kąt \(\beta\) to kąt między krótszą przekątną graniastosłupa a jej rzutem na podstawę (czyli krótszą przekątną podstawy).

$$\sin \beta = \frac{H}{D_k} = \frac{H}{\sqrt{3a^2 + H^2}}$$

Z warunku \(\sin \beta = \frac{2}{\sqrt{7}}\):

$$\frac{H}{\sqrt{3a^2 + H^2}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$$

## Krok 6: Wyznaczenie relacji między \(H\) i \(a\)

Podnosząc do kwadratu obie strony:

$$\frac{H^2}{3a^2 + H^2} = \frac{4}{7}$$

$$7H^2 = 4(3a^2 + H^2)$$

$$7H^2 = 12a^2 + 4H^2$$

$$3H^2 = 12a^2$$

$$H^2 = 4a^2$$

$$H = 2a$$

## Krok 7: Kąt nachylenia dłuższej przekątnej

Kąt \(\alpha\) to kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa a jej rzutem na podstawę.

$$\sin \alpha = \frac{H}{D_d} = \frac{H}{\sqrt{4a^2 + H^2}}$$

Podstawiając \(H = 2a\):

$$\sin \alpha = \frac{2a}{\sqrt{4a^2 + 4a^2}} = \frac{2a}{\sqrt{8a^2}} = \frac{2a}{2a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Zatem:
$$\alpha = 45°$$

**Odpowiedź:** Miara kąta \(\alpha = 45°\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(45^\circ \)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/99)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F99)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_