# Matematyka — zadanie 100

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/100
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Ciągi

## Treść

Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa \(10\), a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznacza się pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego przez \(a_1\), a różnicę przez \(r\).

## Warunek 1: Suma pierwszych pięciu wyrazów

Wzór na sumę pierwszych \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)r)}{2}$$

Dla \(n = 5\):
$$S_5 = \frac{5(2a_1 + 4r)}{2} = \frac{5 \cdot 2(a_1 + 2r)}{2} = 5(a_1 + 2r) = 10$$

Stąd:
$$a_1 + 2r = 2$$

## Warunek 2: Wyrazy tworzące ciąg geometryczny

W ciągu arytmetycznym:
- \(a_3 = a_1 + 2r\)
- \(a_5 = a_1 + 4r\)
- \(a_{13} = a_1 + 12r\)

Aby te wyrazy tworzyły ciąg geometryczny, musi zachodzić:
$$a_5^2 = a_3 \cdot a_{13}$$

Podstawia się:
$$(a_1 + 4r)^2 = (a_1 + 2r)(a_1 + 12r)$$

Rozwija się lewą stronę:
$$a_1^2 + 8a_1r + 16r^2$$

Rozwija się prawą stronę:
$$a_1^2 + 12a_1r + 2a_1r + 24r^2 = a_1^2 + 14a_1r + 24r^2$$

Porównuje się:
$$a_1^2 + 8a_1r + 16r^2 = a_1^2 + 14a_1r + 24r^2$$
$$8a_1r + 16r^2 = 14a_1r + 24r^2$$
$$-6a_1r - 8r^2 = 0$$
$$-2r(3a_1 + 4r) = 0$$

Stąd: \(r = 0\) lub \(3a_1 + 4r = 0\)

## Przypadek 1: \(r = 0\)

Z warunku \(a_1 + 2r = 2\):
$$a_1 = 2$$

Wzór ogólny:
$$a_n = 2$$

## Przypadek 2: \(3a_1 + 4r = 0\)

Stąd: \(a_1 = -\frac{4r}{3}\)

Podstawia się do \(a_1 + 2r = 2\):
$$-\frac{4r}{3} + 2r = 2$$
$$-\frac{4r}{3} + \frac{6r}{3} = 2$$
$$\frac{2r}{3} = 2$$
$$r = 3$$

Zatem:
$$a_1 = -\frac{4 \cdot 3}{3} = -4$$

Wzór ogólny:
$$a_n = a_1 + (n-1)r = -4 + (n-1) \cdot 3 = -4 + 3n - 3 = 3n - 7$$

## Odpowiedź

$$\boxed{a_n = 2 \text{ lub } a_n = 3n - 7}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(a_n=2\) lub \(a_n=3n-7\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/100)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-pp-treningowe%2Fzad%2F100)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_